安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题

定远育才学校2022-2023学年第一学期期末考试 高三数学 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2. 已知命题，则命题为(    ) A. B. C. ， D. ， 3. 若，，，则，，的大小关系为(     ) A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是(    ) A. 的最小正周期是 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴 6. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于(    ) A. B. C. D. 7. 若存在两个正实数，使得等式成立其中，是以为底的对数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8. 已知椭圆，过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上不同于，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为(     ) A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. D. 若，则有最小值 10. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是(    ) A. 的单调递减区间为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为 11. 已知单调递增数列满足，其前项和为，则下列说法正确的是(    ) A. 若为方程的两根，则 B. 若，，则是数列中最大的负数项 C. 若，则 D. 12. 如图，在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面或内部一点，直线，与底面所成的角分别记为，，且，记动点的轨迹与棱的交点为，则下列说法正确的是(    ) A. 为中点 B. 线段长度的最小值为 C. 存在一点，使得平面 D. 若在正四棱柱表面，则点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 定义是向量和的“向量积”，其长度为，其中为向量和的夹角．若，，则          ． 14. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是          ． 15. 若的图象关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则的取值范围是          ． 16. 设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为          ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 设正项数列满足，且． 证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 设，求证：数列的前项和． 18. 已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象． 求函数与的解析式； 若，是第一象限的角，且，求的值． 19. 给定区间，集合是满足下列性质的函数的集合：任意，．  已知，，求证：；  已知，若，求实数的取值范围；  已知，，讨论函数与集合的关系． 20. 12分 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点． 若二面角的余弦值为，求的值； 在的条件下求直线与平面所成角的正弦值． 21. 12分 已知椭圆：的焦距为，且过点． 求椭圆的方程； 设在椭圆上，且与轴平行，过作两条直线分别交椭圆于，两点，直线平分，且直线过点，求四边形的面积． 22. 12分 已知函数，其中为非零实数． 讨论的单调性； 若函数为自然对数的底数有两个零点． 求实数的取值范围； 设两个零点分别为、，求证：． 答案和解析 1. 【解析】集合，， 则，故选：． 2. 【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 则为：，，故选： 3. 【解析】， ， ， ，，的大小关系为．故选：． 4. 【解析】由于函数，定义域为， 且， 故函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除； 对于时，当时，， 当时，，，故， 当时，，，， 故排除．故选C． 5. 【解析】由图可知，，该三角函数的最小正周期，故A项正确； 由，则， 因为，所以该三角函数的一条对称轴为， 将代入，得，解得，所以， 令， 得，所以函数在上单调递增，故B项正确； 令，得， 所以函数在上单调递减，故C项错误； 令， 得，则直线是的一条对称轴，故D项正确．故选：． 6.  【解析】在中， ， 由正弦定理得即， ， 又， ， ， 又的面积为， 即， 是边的中点， ， ．故选B．    7.  【解析】可化为， 令，则，令， 则，令，可得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 即， 故．故选