2023 年九年级数学中考复习 相似三角形综合压轴题 专题复习训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题复习训练(附答案) 1.已知正方形ABCD中,点E是边CD上一点(不与C、D重合),将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,如图1,连接EF,分别交AC、AB于点P、G. (1)求证:△APF∽△EPC; (2)求证:PA2=PG•PF; (3)如图2,当点E是边CD的中点时,PE=1,求AG的长. 2.已知四边形ABCD中.AD=AB,AD∥BC,∠A=90°,M为边AD的中点,F为边BC上一点,连接MF,过点M作ME⊥MF,交边AB于点E. (1)如图1,当∠ADC=90°时,求证:4AE+2CF=CD; (2)如图2,当∠ADC=135°时,线段AE、CF、CD的数量关系为 (3)如图3.在(1)的条件下,连接EF、EC,EC与FM相交于点K,线段FM关于FE对称的线段与AB相交于点N.若NE=,FC=AE,求MK的长. 3.如图1,菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合,点G在对角线AC上,且∠BCD=∠ECF=60°, (1)问题发现的值为 ; (2)探究与证明 将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角(0°<α<60°),如图2所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由; (3)拓展与运用: 菱形GECF在旋转过程中,当点A,G,F三点在一条直线上时,如图3所示连接CG并延长,交AD于点H,若CE=2,GH=,则AH的长为 . 4.(1)问题发现 如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=36°,连接AC,BD交于点M. ①的值为 ; ②∠AMB的度数为 ; (2)类比探究 如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请计算的值及∠AMB的度数. (3)拓展延伸 在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长. 5.【问题呈现】 如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE. 【类比探究】 如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写出的值. 【拓展提升】 如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且==.连接BD,CE. (1)求的值; (2)延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC的值. 6.已知矩形ABCD,点E为直线BD上的一个动点(点E不与点B重合),连接AE,以AE为一边构造矩形AEFG(A,E,F,G按逆时针方向排列),连接DG. (1)如图1,当==1时,请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系; (2)如图2,当==2时,请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系,并说明理由; (3)如图3,在(2)的条件下,连接BG,EG,分别取线段BG,EG的中点M,N,连接MN,MD,ND,若AB=,∠AEB=45°,请直接写出△MND的面积. 7.如图1,△ABC中,∠B=30°,点D在BA的延长线上,点E在BC边上,连接DE,交AC于点F.若∠EFC=60°,DE=2AC,求的值. 某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法: 小明:“通过观察和度量,发现∠C与∠D存在某种数量关系”; 小强:“通过构造三角形,证明三角形相似,进而可以求得的值. …… 老师:如图2,将原题中“点D在BA的延长线上,点E在BC边上”改为“点D在AB边上,点E在BC的延长线上”,添加条件“BC=5,EC=4”,其它条件不变,可求出△BED的面积. …… 请回答: (1)用等式表示∠C、∠D的数量关系并证明; (2)求的值; (3)△BDE的面积为 (直接写出答案). 8.阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题. 数学课上,老师出示了这样一道题: 如图1,在△ABC中,BA=BC,AB=kAC.点F在AC上,点E在BF上,BE=2EF.点D在BC延长线上,连接AD、AE,∠ACD+∠DAE=180°.探究线段AD与AE的数量关系并证明. 同学们经过思考后,交流了自己的想法: 小明:“通过观察和度量,发现∠CAD与∠EAB相等.” 小亮:“通过观察和度量,发现∠FAE与∠D也相等.” 小伟:“通过边角关系构造辅助线,经过进一步推理,可以得到线段AD与AE的数量关系.”… 老师:“保留原题条件,延长图1中的AE,与BC相交于点H(如图2),若知道DH与AH的数量关系,可以求出的值.” (1)求证:∠CAD=∠EAB; (2)求的值(用含k的式子表示); (3)如图2,若DH=AH,则的值为 (用含k的式子表示). 9.