2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合应用

2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合应用 一、综合题 1．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE. （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若cosB＝ ，CE＝2，求DE. 2．已知：如图，在⊙O中，AB=CD， （1）求证：∠ABD=∠CDB。 （2）连结BC，若AB平分∠DBC，CE=2，BE=3，求BD的长。 3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E． （1）求证：点E是边BC的中点； （2）求证：BC2=BD·BA； （3）当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形． 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2＝2CD•OE； （3）若 ，求OE的长． 5．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E. （1）求证：AC•AD=AB•AE； （2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长. 6．如图，是⊙的直径，过点A作⊙的切线，并在其上取一点C，连接交⊙于点D，的延长线交于E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 7．如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，DE⊥AB，垂足为E，且∠EAD=∠CAD. （1）求证：BD=CD； （2）求证：DE是⊙O的切线； （3）若⊙O半径为5，BE=8，求AD的长. 8．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接OD并延长，交BC的延长线于点E，且∠EDC＝∠EBD． （1）求证：BE为⊙O的切线； （2）若⊙O的直径是2，，求BC的长． 9．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E． （1）求证：CD为⊙O的切线． （2）若 = ，求cos∠DAB． 10．如图， 是 的直径，点C在 的延长线上， 与 相切于点D， ，交 的延长线于点E． （1）求证： ； （2）若 ， ，求AB的长． 11．如图，在△ABC中，AC=BC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作⊙的切线BD，连接AD交BC于点E，交⊙O于点F，连接BF. （1）求证：∠FBD=∠FAB； （2）若AE⊥BC，AC＝6， ，求DF的长. 12．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E． （1）求证：△ADE∽△BCE； （2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB． 13．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM． （1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长． 14．如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连结BD、CD，AC、BD交于点E． （1）请找出图中的相似三角形，并加以证明（不添加其他线条的情况下）； （2）若∠D=45°，BC=4，求⊙O的面积． 15．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝2 .过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F. （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若∠BAC＝60°，DE＝ ，求图中阴影部分的面积. 16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD. （1）求证：△ADO∽△ACB （2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD•BC. 17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD垂直AB，垂足为D，在AC延长线上取点E，使∠CBE=∠BAC. （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BE＝6，求⊙O的半径OA. 18．如图，四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，AC=AD，点B为的中点，点E为AC上一点，且，F为直径AG的延长线上一点，且∠FDG=∠FAD. （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若∠BCA=55°，∠BAC=15°，求∠F的度数； （3）若AC=AD=a，求的最大值（用含a的式子表示）. 19．四边形是的圆内接四边形，线段是的直径，连结.点H是线段上的一点，连结，且，的延长线与的延长线相交于点P. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， ①求