专题09 间接法模型-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题09 间接法模型 【方法技巧与总结】 “至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 【典型例题】 例1．（2023·全国·高三专题练习）个点将半圆分成段弧，以个点（包括个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（　　）个 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，如图：在10个点中，任意三点不共线， 在其中任取3个点，可以组成个三角形， 其中没有锐角三角形，直角三角形是包含点和余下的8点任意取一个构成的三角形，有8个，则钝角三角形有个． 故选：B． 例2．（2023春·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【答案】A 【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方， 则每人有3种选择，则4人一共有种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖， 每人有2种选择方法，则4人一共有种情况， 故汉口江滩一定要有人去有种情况， 故选：A． 例3．（1990·全国·高考真题）以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（    ） A．6个 B．12个 C．18个 D．30个 【答案】B 【解析】根据题意，先从六个顶点中任选四个，共种选法， 而其中包含了所取4点在同一个侧面上的情况，这种情况有3种， 即符合条件的有 ； 故选∶B． 例4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为（    ） A．360 B．630 C．1170 D．840 【答案】B 【解析】从360的约数中去掉1和2，其余的约数均可作为正多边形的边数， 设从360个顶点中选出个构成正多边形，这样的正多边形有个， 因此所求的正多边形的个数就是360的所有约数之和减去360和180， 考虑到， 因此所求正多边形的个数为. 故选：B. 例5．（2023·全国·高三专题练习）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（    ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 【答案】D 【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法. 故选：D 例6．（2023·广西梧州·统考一模）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（    ）种 A．9 B．36 C．54 D．108 【答案】C 【解析】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种， 选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种， 所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种 故选：C 例7．（2023·全国·高三专题练习）某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（    ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 【答案】B 【解析】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种， 则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种. 故选：B 例8．（2023·全国·高三专题练习）中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（  ） A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种 【答案】A 【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为， 其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为， 于是得， 所以“六艺”讲座不同的次序共有408种. 故选：A 例9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学