吉林省长春市第二实验中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题

长春市第二实验中学2022-2023学年高三上学期期末考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若存在实数， 使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知直线与圆（为整数）相切，当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ） A. B. C. 1 D. 8. 我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前n项和为，，，，的前n项和为则下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. C. 数列是公比为4的等比数列 D. 10. 已知A､B两点的坐标分别是，，直线AP､BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点P的所在的曲线是焦点在x轴上的双曲线 B. 当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的双曲线 C. 当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的椭圆 D. 当时，点P的所在的曲线是圆 11. 如图，在平行四边形中，，分别为的中点，沿将折起到的位置（不在平面上），在折起过程中，下列说法不正确的是（ ） A. 若是的中点，则平面 B. 存在某位置，使 C. 当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为 D. 直线和平面所成角的最大值为 12. 已知函数，若恒成立，则实数可能的值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 复数和在复平面上所对应的两个向量的夹角的余弦值为______． 14. 若，则______． 15. 在分层抽样时，如果将总体分为k层，第j层抽取的样本量为，第j层的样本平均数为，样本方差为，．记，所有数据的样本平均值为，则所有数据的样本方差______． 16. 已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知的内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求角的大小; （2）若，求的值. 18. 函数满足，，且与直线相切. （1）求实数，，的值； （2）已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线C过点,. （1）求双曲线C的标准方程; （2）已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值. 20. 如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角. （1）求证：； （2）若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值. 21 已知． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，证明． 22. 在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，…，）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，，，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素为一个小组中成员的编号，例如：集合表示编号为1，2，