立体几何与空间向量-2023届高考数学二轮复习核心考点强化练习

核心考点强化 立体几何与空间向量 空间向量与立体几何 1.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点. (1)求证：MN∥平面ABCD； (2)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长. 2.如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点. (1)求二面角F-AE-B的正弦值； (2)若BE⊥平面AOC，求实数a的值. 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC，PC=AC=AB=2，CD=AB. (1)求证：DC⊥平面PAC. (2)求证：平面PAB⊥平面PAC. (3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？请说明理由. 4.如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A=6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上. (1)若P是DD1的中点，求证：AB1⊥PQ； (2)若PQ∥平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体A-DP-Q的体积. 空间角的计算 1.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，平面A1ABB1⊥平面ABC，AA1=AB，∠A1AB=60°. (1)求异面直线A1C与BC1所成角的余弦值； (2)设D为B1C1的中点，求平面A1BC与平面A1DC所成角的正弦值. 2.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1(λ≠0). (1)若λ=，求AP与AQ所成角的余弦值； (2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值. 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP=AB=AD=1. (1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长； (2)求二面角BPDA的余弦值. 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点． (1)求异面直线AP与BM所成角的余弦值； (2)点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求实数λ的值. 核心考点强化 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 核心考点强化 立体几何与空间向量 参考答案 空间向量与立体几何 1.如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，-2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，-2，2).又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M(1，，1)，N(1，-2，1). (1)依题意，可得n=(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，=(0，-，0)，由此可得·n=0. 又因为直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. (2)依题意，可设=λ，其中λ∈[0，1]，则E(0，λ，2)，从而=(-1，λ+2，1).又n=(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由已知得|cos〈，n〉|===，整理得λ2+4λ-3=0，又因为λ∈[0，1]，解得λ=-2. 所以线段A1E的长为-2. 2.(1)因为△AEF为等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF，又因为平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO⊂平面AEF，所以AO⊥平面EFCB. 又BE⊂平面EFCB，所以AO⊥EB. 如图，取BC的中点G，连接OG. 由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF. 因为AO⊥平面EFCB，GO⊂平面EFCB，所以AO⊥GO. 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz， 则E(a，0，0)，A(0，0，a)，B(2，(2-a)，0)，=(-a，0，a)，=(a-2，(a-2)，0)， 设平面AEB的法向量为n=(x，y，z)，则 即令z=1，则n=(，-1，1). 又平面AEF的一个法向量为p=(0，1，0). 所以cos〈n，p〉==-， 从而二面角F-AE-B的正弦值为. (2)因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC， 又因为=(a-2，(a-2)，0)，=(-2，(2-a)，0)， 所以·=-2(a-2)-3(a-2)2=0， 又0<a<2，所以a=. 3.依题意，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(-2，2，0)，D(1，0，0)，P