2023年九年级数学中考专题复习：圆最值问题

圆最值问题 一．选择题（共3小题） 1． 在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB 2 +AC 2 =2AO 2 +2BO 2 成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF 2 +PG 2 的最小值为（　　） A． B． C．10 D．34 2． 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为（　　） A．10 B． -3 C．5 D． 3． 如图，在⊙O中将弧AB沿弦AB翻折经过圆心O交弦BE于点F，BF=2EF，AB=2 ，则BE长为（　　） A．4 B．3 C．3 D．6 二．填空题（共5小题） 4． 如图，C为半圆弧 的中点，P为弧 上任意一点，CD⊥CP且与AP交于点D，连接BD．若AB=2，则BD的最小值为 ________ ． 5． AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的直径为10cm,AB=8cm,CD=6cm,则AB，CD间的距离为 ________ ． 6． 在平面直角坐标系中，一个圆经过O（0，0），A（3，9），B（6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是 ________ ． 7． 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=24cm,OD=5cm,则DC= ________ ． 8． 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB=6，BC=4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB=∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D． （1）∠APB= ________ ； （2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 ________ ． 三．解答题（共22小题） 9． 如图1，⊙O的弦BC=6，A为BC所对优弧上一动点且sin∠BAC= ，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E． （1）求证：点P为 的中点； （2）如图2，求⊙O的半径和PC的长； （3）若△ABC不是锐角三角形，求PA•AE的最大值． 10． 发现问题： （1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP=45°．（不必写作法） 问题探究： （2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3 ，D是AB上一点，AD=2 ，在BC边上是否存在点P，使∠APD=45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由． 问题解决： （3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB=66米、球门EF=8米，且EB=FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP=7米，∠BPQ=135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度． 11． 已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD=∠ABD． （1）求证：AF为⊙O的切线； （2）若BD平分∠ABC，求证：DA=DC； （3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN=135°，⊙O的半径为2 ，求EN的长． 12． 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF． （1）求线段AE的长； （2）若AB-BO=2，求tan∠AFC的值； （3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值． 13． 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P在线段AD上，由点D向点A运动，当点P与点A重合时，停止运动．以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P与AD交于点M点Q在⊙P上且在矩形ABCD外，∠QPD=120° （1）当PD=2 时PC= ________ ，扇形QPD的面积= ________ ，点C到⊙P的最短距离= ________ ； （2）⊙P与AC相切时求PC的长？ （3）如图⊙P与AC交于点E、F当EF=6.4时，求PD的长？ （4）请从下面两问中，任选一道进行作答． ①当⊙P与△ABC有两个公共点时，直接写出PD的取值范围； ②直接写出点Q的运动路径长以及BQ的最短距离． 14． 定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A=∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准