专题2 等式与不等式（1） 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题2 等式与不等式 2．1　等式性质与不等式性质 知识点一　等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点三　糖水不等式的性质 定理：若，，则一定有，或者 通俗的理解就是克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜； 证明：； 例题精选 【例1】 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 【例2】（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【例3】若，且，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【例4】若，则　　 A． B． C． D． 【例5】（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　 A． B． C． D． 【例6】（2022•沈河区模拟）下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，，则 C．，则 D．若，则 【例7】求证：． 【例8】已知正数，，，满足，求证：． 试题精选 1.（2022•抚顺县月考）下列结论正确的有　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（2022•大名县期末）如果，，，，则正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3.（2022•河南期中）若是实数，，，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．由的取值确定 4.（2022•天府新区期末）已知实数，，满足，，那么下列选项中一定成立的是　　 A． B． C． D． 5.（2022•辽宁二模）已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是　　 A． B． C． D． 6.（2022•江苏模拟）若，则　　 A． B． C． D． 7．（2021•贵阳期末）下列说法正确的　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 8.已知，分别是一个三角形的三边长，求证． 2.2　基本不等式与柯西不等式 知识点一　基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数． (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 4．利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？ 利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等． 思考：　x＋的最小值是2吗？ 只有当x>0时，才有x＋≥2＝2，即x＋的最小值是2； 当x<0时，x＋没有最小值，此时x＋＝－ 即当x<0时，x＋的最大值是－2. 5．基本不等式常用模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：加项变换 ，当且仅当时等号成立. 思考：若函数在处有最小值，则__________. 模型三：同除转化为基本不等式 ，当且仅当时等号成立. 思考：若对任意，恒成立,则的取值范围是__________. 模型四：凑和为常数型 ，当且仅当时等号成立. 思考：已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 由于1－2x>0，则y＝x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立． 模型五：等式转化为不等式模型 若出现， 其中、、、、 因为，可以转化为或， 从而求出及的取值范围．若出现求取值范围，先将式子因式分解成为形式，再用基本不等式求出最值． 也可以考虑用柯西不等式解出答案，先进行因式分解，再用柯西不等式分析． 思考：设，则（ ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 【解析】 或,又,故选. 法二: 例题精选 【例9】（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【例10】(2021上上海)已知函数的最小