专题2 等式与不等式（2） 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题2 等式与不等式 知识点二　柯西不等式 柯西不等式二元式：设，，，，有 当且仅当时等号成立． 模型一：分母的倍数和为常数 ，其中，例如：； 对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．同理当时，等号成立．我们将这种不等式叫做权方和不等式.我们接下来还会继续分析讲解权方和不等式 思考：，且，则 ． 模型二：一高一低和式配凑类型 已知的值，求的取值范围，或者已知的值，求的最值或者求的最值 即，其中， 例或者写成 思考：，则的最小值是　　　　． 模型三：同次积式配凑类型 已知的值，求的最值，利用求最值． 思考：设求设最小值． 基本不等式和柯西不等式都悉数登场，那么关于什么时候用什么不等式成为了关键，我们可以根据结构来分析，如果是已知和式定值求积式最值，或者积式定值求和式最值，这就是形式转变，一般用基本不等式；而已知和式定值，求和式（倒数和、平方和、根式和）的最值，或者已知积式（需要因式分解确定）定值，求另一个齐次积式定值，我们通常用柯西不等式。总结起来一句话，形式的改变用基本不等式，形式的不变用柯西不等式，尽管两个不等式是相通的. 例题精选 【例20】(2017.山东)若直线过点,则的最小值为 【例21】已知实数满足,且,则的最小值为 【例22】(2022内江期末)已知正实数满足,则的最小值为() A. B.4 C. D. 【例23】设函数,则当时,的最大值是 【例24】已知,则的最小值为 A.49 B.7 C.36 D.6 【例25】已知,且,则的最大值是 【例26】 (多选)已知,且,则() A. B. C. D. 【例27】(2022・武汉期末)(多选)已知,则(） A.的最大值为 B.的最小值为4 C.的最小值为 D.的最小值为1 【例28】(2022葫芦岛二模)(多选)已知,则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 试题精选 22.若为实数,且,求的最小值. 23.已知为实数,且,证明. 24.若直线过点,则的最小值等于() A.2 B.3 C.4 D.5 25.(2022•尖山区期末)已知,且,则的最小值为() A.8 B. C.9 D. 26.(2022•南阳期末)设,则的最小值是() A. B. C. D. 27.(2022-陣都区期末)若实数满足,则下列结论中,正确的是() A. B. C. D. 28.(2022•运城期末)已知,且,则下列一定正确的为() A. B. C. D. 29.(2022-兴庆区期中)已知,且,则下列不等式一定成立的是() A. B. C. D. 30.(2022-内江期末)已知正实数满足,若的最小值为4,则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 31.(2022-衡阳三模)(多选)已知实数.则下列不等式正确的是() A. B. C. D. 32.(2022-张家口三模)(多选)已知(是常数),则下列结论正确的是() A.若的最小值为,则 B.若的最大值为4,则 C.若的最大值为,则 D.若,则的最小值为2 33.(2022-湖南月考)(多选)已知,且,则() A.的最大值为2 B.的最小值为 C.的最大值为8 D.的最小值为8 34.(2022-湖北期中)(多选)已知且,则下列结论正确的是() A. B.的最大值为 C.的最大值为 D.的最小值为 A.的最小值为4 B.的最大值为 C.的最小值为 D.的最大值是 知识点三 权方和不等式运用＊ 权方和不等式：若则 当仅当时，等号成立.为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式，关于带根号式子，将分子变为次，分母为次. 由于分母为一次，分子为二次的类型都能用柯西不等式轻松解决，本讲内容还是让大家熟悉一下这个不等式，并尝试解决一些柯西不等式没那么好解决的问题. 例题精选 【例29】且,求证:. 【例30】a,b,c,求证:. 【例为正实数,且,则的最小值是 【例32】已知正数满足,则的最小值为 【例33】设是正实数且满足,求最小值. . 【例34】若三边对应分别为.求证:. 【例35】若,求证:. 试题精选 36.(2022•恩施州期末)若,则的最小值是(） A.16 B.18 C.20 D.22 37.(2022-宜宾期末)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设,则,当且仅当时等号成立.根据权方和不等式,函数的最小值为 A.16 B