专题3 二次函数与一元二次方程不等式 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题3 二次函数与一元二次方程不等式 知识点一　一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式. ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数. 思考　a2b＋2ab2＋8>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？ 可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式． 知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 意味着中部分，意味着中部分 ，，求出两个根，；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然． 例题精选 【例1】 解关于的不等式. 【例2】 解关于的不等式. 【例3】已知关于的不等式的解集为或. (1)求; (2)解关于的不等式. 知识点三　一元二次不等式与韦达定理 ①已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为． ②已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． ③已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． ④已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为， 以此类推． 【例4】不等式的解集为,则不等式的解集为（） A.或 B. C. D. 知识点四 二次项系数含参的一元二次不等式问题 （1）分析当时的情况． （2）十字相乘得到，求出两个根，，若不能十字相乘，则要讨论的情况． （3）比较两个根的大小，；；，并分别进行讨论． （4）其中一种情况涉及到以及，再分开口方向讨论． 【例5】解关于的不等式:. 知识点五 乘除的等价原理和穿根法 （1） 若，则与异号，． （2） 若，则异号，，且． （3） 若，则同号，． （4） 若，则同号，，且． 数轴穿根法或者 口诀：移项调号，分解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号． 【例6】解关于的不等式:. 【例7】解关于的不等式:. 【例解关于的不等式:,且 知识点六 对勾函数解决恒成立和实根分布问题 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 当同为正数时，的图象是由直线与双曲线构成，形状酷似双勾．故称“对勾函数”，也称“耐克函数”．耐克函数的顶点：和 【例9】已知函数对于一切成立,求的取值范围. 【例10】方程在区间内有解,求的取值范围. 知识点七 二次函数轴动区间定和轴定区间动 口诀：轴在区间内，顶点定；轴在区间外，单调定． 【例11】若函数在上为单调函数,则实数的取值范围是() A. B. C. D. 【例12】已知函数在闭区间上有最大值5,最小值1,则的取值范围是() A.0,1 B.1,2 C.0,2 D.2,4 【例13】若函数,若对任意不等式恒成立,则实数的最大值为 【例14】(2022・长沙月考)设函数. (1)已知函数的定义域为,求实数的取值范围; (2)已知方程有两个实数根,且,求实数的取值范围. 【例15】(2022湖北月考)已知函数. (1)若函数有唯一的零点,求的值; (2)设,若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围. 知识点八 二次函数零点分布之两零点分布在同一区间型 二次函数的两个零点位于同一区间或者在某个区间存在零点时，参变分离转化为区间的值域或者交点问题，显然事半功倍． 【例16】(2022-安徽月考)已知. (1)若且,求的单调区间; (2)当为何值时,有2个零点,且均比 【例17】(2022.襄阳月考)若关于的一元二次方程至少有一个正根,求的取值范围. 知识点九 二次函数单零点分布之卡根法 第一类 恒成立（能成立）的异号类 二次函数开口方向和不等号方向反向，即恒成立，或者恒成立． 【例18】不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为() A. B. C. D. 第二类 零点问题的分散或者范围内单个零点 如果两个零点在不同区间或者某个区间只有一个零点时，端点值的正负号将决定参数的取值范围． 【例19】若方程的一个根在内,另一个根在内,则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【例20】已知关于的方程