专题5 函数单调性与奇偶性（1） 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题5 函数单调性与奇偶性 函数的性质,包含单调性、奇偶性、对称性、周期性,本节我们会在重点阐述这些问题的同时,系统地将抽象函数的一些解题方法进行归纳,函数太需要扎实的基本功了. 题型一函数单调性 一、增函数、减函数的概念 一般地,设函数的定义域为,区间: 如果对于内的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在区间上是增函数. 如果对于内的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在区间上是减函数. 1.属于定义域内某个区间上; 2.任意两个自变量且; 3.都有或; 4.图象特征:在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的,减函数的图象从左向右是下降的. 二、单调性与单调区间 1.单调区间的定义:如果函数在区间上是增函数或减函数,那么就说函数在区间上具有单调性,称为函数的单调区间. 2.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 三、证明函数单调性的步骤 1.取值:设是定义域内一个区间上的任意两个量,且; 2.变形:作差变形(变形方法:因式分解、配方、有理化等)或作商变形; 3.定号:判断差的正负或商与1的大小关系; 4.得出结论. 四、函数单调性的判断方法 1.定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值－变形判断符号-下结论”进行判断. 2.图象法:就是画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势,判断函数的单调性. 3.直接法:就是对我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调区间. 4.记住几条常用的结论: (1)若是增函数,则为减函数;若是减函数,则为增函数; (2)若和均为增(或减)函数,则在和的公共定义域上为增(或减)函数; (3)若且为增函数,则函数为增函数,为减函数; 若且为减函数,则函数为减函数,为增函数. 五、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性． 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1．若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2．若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： 1．将复合函数分解成基本初等函数：，； 2．分别确定各个函数的定义域； 3．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 注 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 六、利用函数单调性求函数最值 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性,再求最值.常用到下面的结论: 1.如果函数在区间上是增函数,在区间上是减函数, 则函数,在处有最大值. 2.如果函数在区间上是减函数,在区间上是增函数, 则函数,在处有最小值. 3.若函数在上是严格单调函数,则函数在上一定有最大、最小值. 4.若函数在区间上是单调递增函数,则的最大值是,最小值是. 5.若函数在区间上是单调递减函数,则的最大值是,最小值是. 七、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性,求参数的取值范围问题,可利用函数单调性,先列出关于参数的不等式,利用下面的结论求解. 1.若在上恒成立在上的最大值. 2.若在上恒成立在上的最大值. 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题,进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题.八、基本初等函数的单调性 1.正比例函数: 当时,函数在定义域上是增函数;当时,函数在定义域上是减函数. 2.一次函数: 当时,函数在定义域上是增函数;当时,函数在定义域上是减函数. 3.反比例函数: 当时,函数的单调递减区间是,不存在单调增区间; 当时,函数的单调递增区间是,不存在单调减区间. 4.二次函数: 若,在区间,函数是减函数;在区间,函数是增函数; 若,在区间,函数是增函数;在区间,函数是减函数. 例题精选 【例1】已知函数. (1)讨论的单调性;(2)试作出的图象. 【例2】判断下列函数的单调区间: (1); (2). 【例3】求下列函数的单调区间: (1); (2); (3); (4). 【例4】已知函数的定义域为,且对任意的均有,且对任意的,都有. (1)试说明:函数是上的单调递减函数; (2)试求函数在且上的值域. 【例5】已知函数在定义域上为增函数,,且定义域上任意都满足,解不等式:. 【例6】已知函数是定义域为的单调增函数. (1)比较与的大小; (2)若,求实数的取值范围. 【例7】求下列函数的值域: 【例8】已知函数. (1)判断函数的单调区间; (