专题6 幂函数与周期函数 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题6 幂函数与周期函数 知识点一　幂函数的概念与性质 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减 幂函数的共同性质总结： ①．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． ②．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． ③．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． ④．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． ⑤．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 例题精选 【例1】（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　　． 1 ；②当时，；③是奇函数． 【例已知,若幂函数为奇函数,且在上递减,则 【例3】(2023-大连期末)已知幂函数与的部分图象如图所示,直线与分别交于四点,且,则 A. B.1 C. D.2 【例4】设,则的大小关系是() A. B. C. D. 试题精选 1.已知,则() A. B. C. D. 2.(2022・新乡期末)已知幂函数在上单调递减,则 A.2 B.16 C. D. 3.(2022-南京模拟)冪函数在第一象限的图象如图所示,则的大小关系是() A. B. C. D. 题型二对称函数与周期函数 一、函数对称性 定理1：若函数关于直线对称,则. 推论1关系式也可以写成或.若写成,则函数关于直线对称. 证明设点在,由可知,,即点也在函数上,而点与点关于对称,即得证. 定理2：若函数关于点对称,则. 推论2关系式也可以写成或. 证明设点在上,即,通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于对称,即得证. 定理3：函数与关于轴对称,函数与关于原点对称.证明因为函数由函数向左平移个单位得到,则函数由函数向右平移个单位得到,又因为函数与函数关于轴对称, 故与关于轴对称,同理可证与关于原点对称,注意自对称和互对称. 例题精选 【例5】(2022•日照期末)(多选)关于函数,下列说法正确的是(） A.最大值为2 B.在区间上为增函数 C.图象关于对称 D.的图象关于点对称 【例6】(2022山山东月考)设为实数,且满足, 则 【例7】同一平面直角坐标系中,函数与的图象 A.关于原点对称 B.关于轴对称 C.关于轴对称 D.关于直线对称 【例8】(2022•新高考1卷改编)(多选)已知函数及的定义域均为,若为偶函数,为偶函数,且,则 A. B. C. D. 二、函数对称性和迭代构造周期函数 定理1：若函数的图象关于直线都对称,则为周期函数且是它的一个周期.证明函数满足且,则可推出;故,即可以得到的周期为. 推论若偶函数的图象关于直线对称,则为周期函数,且是它的一个周期. 定理2：函数的图象关于两点都对称,则函数是以为周期的周期函数. 证明函数满足且, 则; 所以,即可以得到的周期为. 推论若奇函数的图象关于对称,则为周期函数,且是它的一个周期. 定理3：函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为周期的周期函数. 证明函数满足且, 则;,所以, 所以,即可以得到的周期为. 推论1若奇函数的图象关于直线对称,则为周期函数,且是它的一个周期. 推论2周期为的奇函数一定关于点对称,周期为的偶函数关于直线对称. 定理4：(1)若函数满足,则. (2)若函数满足,则. (3)若函数满足,则. 证明 (1)满足,则,即; (2)满足,则,即; (3)满足,则,即. 综合(1)(2)(3),我们得到定理4:当一个函数时,一定有是周期为的周期函数. 定理：5若函数满足,则函数是以为周期的周期函数. 证明由函数, 则,所以,则是以为周期的周期函数. 定理6：若函数满足,则函数是以为周期的周期函数.证明由函数满足,得,则函数是以为周期的周期函数.定理7：若函数满足,则函数是以为周期的周期函数.证明由,又,则. 例题精选 【例9】(2021-甲卷)设是定义域为的奇函数,且.若,则 A. B. C. D. 【例10】(2021-甲卷)设函数的定义域为为奇函数,为偶函