专题7 指数函数与对数函数 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题7 指数函数与对数函数 题型一指数运算 1.有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂 (2)零指数幂; (3)负整数指数幂; (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幕的性质 (1); (2); (3); (4). 3.根式的定义: 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中叫做根式,叫做根指数,叫被开方数. 4.对于根式记号,要注意以下几点: (1),且; (2)当是奇数,则;当是偶数,则; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零. 5.指数的运算和逆运算,遇到多重根号问题,需要先写成指数形式: 6.指数的逆运算过程: 例题精选 【例1】化简(其中的结果是 A. B. C. D. 【例2】下列根式,分数指数晎的互化中,正确的是 A. B. C. D. 【例等于 A. B. C. D. 【例4】已知,下列各式中正确的个数是() (1);(2). A.1 B.2 C.3 D.4 题型二对数运算 对数的定义:一般地,如果,且,那么数叫做以为底的对数,记作,读作以为底的对数,其中叫做对数的底数,叫做真数. 一、对数运算法则: (1)外和内乘原理:(2)外差内除原理:; (3)提公次方法:; (4)特殊对数:; (5)指中有对,没心没肺:和如:. 二、换底公式和对数运算的一些方法: (1)常用换底:如:. (2)倒数原理:如:. (3)约分法则:如:. (4)归一法则:. 【例5】设,则 A． B． C． D． 【例6】(2022天津)化简的值为 A．1 B．2 C．4 D．6 【例7】(2022·浙江)已知,则 A．25 B．5 C． D． 【例8】(2021.天津若,则 A． B． C．1 D． 【例9】已知,则下列等式一定成立的是(） A． B． C． D． 【例10】求的值. 【例11】已知,请用的式子表示. 【例12】计算:. 【例13】(2021•甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为,则其视力的小数记录法的数据约为 A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【例14】已知,若,则 试题精选 1.下列式子成立的是() A． B． C． D． 2.(2022河西期末)化简(其中的结果是( A． B． C． D． 3.(2022-岳阳月考)设且,若,猜想的个位数字是() A．2 B．5 C．6 D．7 4.(2022・成都月考)的值为（） A． B． C． D． 5.河南月考 A． B．0 C．1 D． 6.湖州期末式子的值等于 A． B． C． D． 7.计算: 8.的值是 9.若,则 10.设,则() A． B． C． D． 11.设,当取最小值时的的值为() A．2 B．4 C．4 D．5 12.(1)若,则 ． (2)化简计算:. 13. Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位:天)的Logistic模型:,其中为最大确诊病例数.当时,标志着已初步遏制疫情,则约为 A．60 B．63 C．66 D．69 14.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数随时间(单位:天)的变化规律,指数增长率与近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为 A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 15.　　． 16.方程的解为　 　． 题型三指数函数的图象及其性质 (1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论. (2)当时,;当时. 当时,的值越大,图象越靠近轴,递增速度越快. 当时,的值越小,图象越靠近轴,递减的速度越快. (3)指数函数与的图象关于轴对称. 函数(1); (2); (3); (4)的图象如下图左所示,则; 即时,(底大幂大);时,. (4)特殊函数:函数的图象如上图右所示.指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法:当指数式的底数和指数各不相同时,需要借助中间量“0”和“1”作比较. (3)分类讨论法:指数式的底数不定时,需要分类讨论底数的情况,在利用指数函数的单调性进行比较. (4)比较法:有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: (1)若; (2)当两个式子均为正