专题11 三角恒等变换 角度和差倍半（2） 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题11三角恒等变换,角度和差倍半 知识点七 整体代换与二次函数模型 三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是，与之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是与之间的关系，第三类则是2018年高考开始出现的与之间的关系，我们逐类分析． 第一类：关于，与之间为二次函数关系 例题精选 【例22】（2021•北京）函数是　　 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【例23】（2018•上海）已知． （1）若，且，，求的值； （2）求函数的最小值． 【例24】（2017•新课标Ⅲ）已知，则　　 A． B． C． D． 【例25】（2021•江西模拟）函数的最大值为 ． 【例26】（2021•多选•岳阳二模）设函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．在上有最大值 D．是的一条对称轴 第三类：与类型和 此类型题虽然是二次和一次的关系，但是换元无法解决问题，所以本类问题通常用数形结合或者求导来解决，则需要结合不等式和辅助角一起分析，我们先以2018年高考题来进行分类讲解． 【例27】（2018•全国Ⅰ卷）已知函数，则的最小值是 ． 【例28】（2022•深圳期末）已知函，则的最大值是_________． *我们来探秘最大值： 定理：若 时，取得最大值，此类型题的本质就是构造两个不同函数，当时，，，故．本类型题当中，显然在第一象限，即，时探讨最大值．不妨令时，，同时成立，我们先介绍一个函数： ，当，时，（如图），我们也可以用分区间证明， 当时，，，；同理，当时，，，，当时，，，，所以 ， ，其中，当且仅当时取得最大值，此时，即时， 针对例27：， 取得最值时，，满足最值的式子，此时求得最大值，最大值为，根据奇函数性质，求得最小值为． 针对例28，，，取得最值时，求最大值时取，满足最值的式子，此时求得最大值为． *【例29】求的最大值． 【例30】已知函数，则函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 试题精选 23.函数的最大值是 ． 24.函数的最小值为 　 　． 25.（2021•多选•莆田二模）若函数，则（ ） A．是周期函数 B．在上有个零点 C．在上是增函数 D．的最小值为 26.（2022•广州月考）已知关于的方程在有解，则的取值范围是 ． 27.（2021•湛江期末）函数的最小值为 ． 28.求函数，的值域 ． 29.（2022•湖北期末）已知函数，给出下列结论：①的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；③的最大值为；④是周期函数，其中正确结论有 ．（请填写序号） 30.（2021•成都期中）函数的最大值为 ． 31.（2021•东莞期末）已知函数，，则函数的最大值为 ． 知识点八 三角换元的函数思想 一．凡是涉及到类型问题，我们可以设，从而简化思考和计算. 【例31】已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ） 【例32】求函数（且）的值域． 【例33】求函数的值域． 二． 隐半圆类型 隐半圆常常出现的结构为：①；②． 隐半圆的结构特点：根式下为二次代数式，且二次项系数为．如表示以原点为圆心，为 半径的圆的上半圆，表示以为圆心，为半径的圆的上半圆，必要的时候可以进行 三角换元，上的任意一点可以表示为，上的任意一点可以表 示为，此时的范围为． 【例34】（2022•开福期中）函数的最小值为　 　 ． 【例35】（2022•广州期中）若方程仅有一解，则实数的取值范围是　 ． 【例36】（2022•浙江模拟）记，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 试题精选 32．（2022•尧都月考）已知实数，满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 33．（2022•洛阳期末）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 34.（2022•枣庄月考）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 35．（2022•广东期末）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 36．（2022•沙坪坝期末）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11三角恒等变换,角度和差倍半 知识点七 整体代换与二次函数模型 三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是，与之间