专题13 圆锥曲线三定义,基础知识快速记 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题13 圆锥曲线三个定义 知识点一 椭圆双曲线的第一定义 一.椭圆第一定义关于“和” 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹；其中，两个定点称做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距． 设是椭圆上任意一点，焦点和，由上述椭圆的定义可得：，将这个方程移项，两边平方得：，两边再平方，整理得： 注意：1.椭圆的标准方程　 后面我们仅以展开性质介绍分析． 2.顶点　，，，． 3. 长轴和短轴　长轴为2a，短轴为2b，注意区分长半轴为a，短半轴为b． 4. 焦点　，． 5. 焦距　，同时：． 6. 离心率　；离心率越大，椭圆越扁． 椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．因为，所以e的取值范围是； ①e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁； ②e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆． 焦点弦：若过焦点的直线与椭圆相交于两点和，为，则称线段为焦点弦． ①如图，；； 当焦点弦过左焦点时，焦点弦的长度；当焦点弦过右焦点时，有． ② 过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦点的弦）最短，通径为(为焦准距)． ③体:过椭圆的左焦点的弦与右焦点围成的三角形的周长是4a； 证明：（1）如图所示，，故； （2）设由余弦定理得 ；整理得 同理：；整理得 两式相加得，则过焦点的弦长： 二．双曲线第一定义关于“差” 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数且小于的点的轨迹；其中，两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距． 注意：与分别表示双曲线的一支．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若无“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支； 根据，化简得：. 注意：1.双曲线的标准方程： 2．顶点：，． 3．实轴和虚轴　实轴为2a，虚轴为2b； 4．焦点　，． 5．焦距　，满足关系式：． 6. 离心率　，离心率越大，开口越大； 7.焦点弦问题：双曲线（，）的两个焦点为、，弦过左焦点（、都在左支上），，则的周长为（如下图左） 焦长公式：（1）当AB交双曲线于一支时，，（图中） （2）当AB交双曲线于两支时，，（图右） 7. 双曲线的渐近线　；或． 例题精选 【例1】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是 ． 【例2】（2022•安溪县期末）下列说法中正确的是　　 A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 【例3】（2022•石家庄期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为　　 A． B．13 C．3 D．5 【例3】（2022•威海二模）已知是椭圆上一点，以点及椭圆的左、右焦点、为顶点的三角形面积为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过作斜率存在且互相垂直的直线、，是与两交点的中点，是与两交点的中点，求面积的最大值． 【例4】（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是． 【例5】（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，． （1），中点在轴上，求点的坐标； （2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求； （3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值． 知识点二 椭圆双曲线的第二定义 一．椭圆第二定义关于“比” 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，其中，定点为焦点，定直线叫做准线，常数e叫做离心率． 设是椭圆上任意一点，定点为，定直线为，常数，由上述椭圆的定义可得：，变形即可． 焦半径　椭圆上的点到焦点的距离；设为椭圆上的一点， ① 焦点在轴：焦半径(左加右减)；② 焦点在轴：焦半径(上加下减)． 注意：利用第二定义快速进行证明，结合图像，长的加，短的减。 注意：焦半径公式，在大题中不能直接使用，大题建议使用焦长公式方向走。 二．双曲线第二定义关于“比” 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹；其中，定直线叫做准线，常数叫做离心率． 根据，化简得到． 焦半径　设为双曲线上的一点， ① 焦点在轴：在左支，在右支； ②焦点在轴：在下支，在上支． 【例6】（2022•舒城县三模）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点）的的个数　　 A．0 B．2 C．4 D．8 【例7】（2022•新高考1）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为，过且垂直于的直线与交于点，两点，，则