专题15 比值与离心率 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题15 比值与离心率 知识点一 焦点到渐近线垂线构造的相似直角三角形 图1 图2 ①如图1所示，当离心率时，过焦点作渐近线垂线，则不会形成直角三角形； ②如图2所示，当离心率时，过焦点作渐近线垂线，会交于第二象限点，令，则双曲线离心率为； 证明：作于，易知，，，则，可知：，根据勾股定理，即，故，所以． ③如图3所示，当离心率时，过焦点作渐近线垂线，会交于第四象限点，令，则双曲线离心率为； 图3 证明：作于，易知，，，则，可知：，根据勾股定理，即，故，所以． 总结：一切源于直角三角形相似，需要作辅助线构造，其实结论很好理解记忆，就是与比大小，大于就是，小于就是． 例题精选 【例1】（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（2022•宛城区月考）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且满足为坐标原点），则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【例3】（2022•上虞区期末）过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为　　 A．或 B．2或 C．或 D．2或 【例4】（2022•山东模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作垂直于渐近线交两渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率可能为　　 A． B． C． D．. 试题精选 1.过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.（2022•安徽模拟）设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3.（2021•山东模拟）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为、两点（点位于点与点之间），且，又过点作于（点为坐标原点），且，则双曲线的离心率（ ） A． B． C． D． 4.（2022春•焦作期末）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若与另一条渐近线交于点，且满足，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 知识点二 焦弦比值与离心率问题 一．椭圆的焦比定理 A是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c是椭圆半焦距，如图8，则①；②；③． 图8 焦比定理：过椭圆的左焦点F1的弦，令，即④，代入焦长公式①可得，⑤． 这样组合①②③④⑤，焦点弦问题才能形成闭环. 2． 双曲线焦比定理之交一支类型 A、B是双曲线左支上两点，是左焦点，为，过，c是双曲线半焦距，如图9，则①；②；（根据长减短加判断符号）③． 令，即④（如果，有）， 代入弦长公式可得，⑤（与椭圆一致）． 图9 3． 双曲线焦比定理之交两支类型 A是双曲线左支上一点，B是双曲线右支上一点，是左焦点，为，过，c是双曲线半焦距，如图10，由于交两支时，有，平方得：，即，故 ①；②；（根据长减短加判断符号）③． 令，即④ 代入弦长公式可得，⑤． 图10 【例5】设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若，轴，则椭圆E的方程为　　　　　　． 【例6】设F1，F2分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若,则点A的坐标是　　　　　． 【例7】（2022•广西月考）已知是椭圆的左焦点，过作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 　　． 【例8】（2022•如皋市模拟）在平面直角坐标系中，已知，分别是椭圆的左，右焦点，点，是椭圆上异于长轴端点的两点，且满足，则　　 A．的周长为定值 B．的长度最小值为1 C．若，则 D．的取值范围是， 试题精选 5.（2022•镇江月考）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为 　 　． 6.（2022•天心区二模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，，分别是，的中点，且的周长为4，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 知识点三 椭圆双曲线的通径体三角形 如图12所示，若，易知，若，则一定有，根据可得，即（无需记忆）． 图12 图13 双曲线如法炮制，若，易知，若，则一定有，根据可得， 【例9】（2021•浙江模拟）已知、为椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于、两点，