专题16 焦点三角形性质 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题16 焦点三角形性质 知识点一 椭圆焦点三角形的性质 椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，如图1， 则（灵动椭圆焦点三角形面积公式） 图1 证明：设 注意：焦点三角形面积，本质来自于解三角形部分， 图2 第一类：面积带动角度与坐标转化：（注意：r为内切圆半径） （1）直角三角等面积法：如图2，当时，有； ， （2）任意角度的等面积法：． （3）最大面积、最大夹角问题：当点P位于椭圆的短轴顶点时，取最大值，根据等面积原理，此时． （4）直角顶点的讨论：当时，取得最大值，若，则，；同理，若，则，；若，则，．在分析直角顶点个数时，当时，有四个点P存在；当时，有两个点P存在；当时，无点P存在.（注意：与的区别） 例题精选 【例1】（2021•甲卷）已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 　 　． 【例2】已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点． （1）若为等边三角形，求的离心率； （2）如果存在点，使得，且△的面积等于16，求的值和的取值范围． 【例3】（2022•南宁模拟）已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 第二类：焦点三角形两底角与离心率转化 　已知椭圆方程为，左右两焦点分别为，是椭圆上一点，在焦点三角形中，，，则有： ； ． 【例4】（2022•遵义期末）椭圆左、右焦点分别为，，为上除左右端点外一点，若，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 第三类:焦点三角形内心与旁心 图3 图4 内心定理:如图3,为内切圆的圆心,和相交于点区分切点), (1).(2)内心的轨迹是:;椭圆焦点三角形的内心轨迹是一个椭圆且以原椭圆的焦点为顶点,并且取不到原椭圆的焦点.第六章圆维由线证明:(1)利用角平分线定理比例性质:,根据等面积法,. (2)法一:设,则有:(参考本讲知识点第二类模型)则,即,整理得:,即 法二:利用角平分线定理有:,可解的,又,则, 由(1)得:,则,则,代入,可得0), 旁心定理:如图4所示,焦点三角形的旁切圆和的延长线、的延长线分别切于点,旁心的轨迹为:,和长轴的两个顶点相切,其中且. 证明:,又, 故,又,故,点恰好和椭圆的长轴端点重合. 【例5】（2022•焦作一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且△的内心为，，若△的面积为，则　　 A． B． C． D． 【例6】（2022•岳麓区模拟）已知点为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，，是左、右焦点，连接，，作△的旁切圆（与线段，延长线及延长线均相切），其圆心为，则动圆圆心的轨迹所在曲线是　　 A． 直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【例7】（2022•雅安模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为上异于左、右顶点的一点，为△内心，若，则该椭圆的离心率是 　 　． 图7 【例8】已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，△的重心和内心分别为，，若轴，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 试题精选 1．（2022•上饶期末）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 2.（2022•重庆月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是　　 A．△的周长与点的位置无关 B．当时，△的面积取到最大值 C．△的外接圆半径最小为 D．△的内切圆半径最大为 3.（2022•胶州市月考）已知点是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是　　 A．△的面积为 B．若点是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点的纵坐标为 D．△内切圆的面积为 4.（2022•青岛一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为6 B．△的面积为 C．△的内切圆的半径为 D．△的外接圆的直径为 5.（2022•秦淮区一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且位于第一象限，满足，的平分线与相交于点，若，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 6．设点是椭圆上异于顶点的任意点，作△的左、右旁切圆，与轴的切点为，则点　　 A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．以上都有可能 7.（2022•河南月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上不与左、右顶点重合的一点，为△的内心，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 8（2022•安徽模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为和为上一点，且△的内心为，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 9．（2022•南昌三模）已知椭圆的左、右焦点