专题17 抛物线中焦点弦,阿基米德切线显 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题17抛物线中焦点弦,阿基米德切线显 题型一抛物线的焦点弦性质 如图1,已知是过抛物线焦点的弦,是的中点,是拋物线的准线,,为垂足.其中. 1.以为直径的圆必与准线相切 2.(重点) 3.FN 4.设为垂足,则三点在一条直线上 证明:1.过作垂直为垂足.,在梯形中, ,故以为直径的圆与准线相切. 2.设直线的方程为与拋物线联立得:,即,故. 3.在与中,;在Rt中,, 又,则,所以 因为,所以,所以. ,则三点共线，同理 三点共线. 5.已知拋物线的焦点为,其准线与轴的交点为,过点作直线与此拋物线交于两点,若,则有:.如图2 图2 证明:法一联立(参考2式)可得:,第章圆锥曲线 高中数学新昌路又,整理得:.法二设直线的倾斜角为,根据本章第一讲的焦长公式(考试自行推导)得:,故,又,即,故. 例题精选 【例1】(2022-乙卷)设为拋物线的焦点,点在上,点,若,则 A.2 B. C.3 D. 【例2】设抛物线的顶点为,焦点为,准线为是抛物线上异于的一点,过作于,则线段的垂直平分线() A.经过点𝑂 B.经过点𝑃 C.平行于直线𝑂𝑃 D.垂直于直线𝑂𝑃 【例3】(2022-新高考(多选)已知为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交于两点,则() A.的准线为 B.直线与相切 C. D. 【例4】(2022•新高考(多选)已知为坐标原点,过抛物线焦点的直线与交于,两点,其中在第一象限,点.若,则（ A.直线的斜率为 B. C. D. 【例5】(2022-湖南模拟)已知抛物线的焦点为,其准线与轴交于点,过点作直线交抛物线于两点,若,且,则的值为（） A.1 B.2 C.4 D.8 【例6】(2022上虞区期末)(多选)已知抛物线上有两点,焦点为,下列选项中是“直线经过焦点”的必要不充分条件的是（） A. B. C. D. 【例7】(2022-沙坪坝区期末)(多选)已知抛物线过点,过点的直线交拋物线于两点,点在点右侧,若为焦点,直线分别交抛物线于两点,则() A. B. C.三点共线 D. 试题精选 1.(2021•新高考II)若抛物线的焦点到直线的距离为,则 A.1 B.2 C. D.4 2.(2022-南京模拟)(多选)设拋物线的焦点为,准线为为上一点,以为圆心,为半径的圆交于两点,若,且的面积为,则() A. B.是等边三角形 C.点到准线的距离为3 D.拋物线的方程为 3.(2022-如早市开学)(多选)已知拋物线与圆交于两点,且,直线过的焦点,且与交于两点,则下列说法中正确的是() A.若直线的斜率为,则 B.的最小值为 C.若以为直径的圆与轴的公共点为,则点的横坐标为 D.若点,则周长的最小值为 4.(2022-沙坪坝区月考)(多选)已知抛物线的焦点为,过点的直线交该拋物两点,点,则下列结论正确的是 A. B. C.若三角形的面积为,则的最小值为 D.若线段中点为,且,则 5.(2022.南京月考)(多选)已知抛物线,焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,该拋物线的准线与轴交于点为坐标原点,下列说法正确的是() A.线段长度的最小值为4 B.以为直径的圆与直线相切 C.的取值范围为 D. 题型二直线和抛物线联立式 1.常规联立数据 已知是抛物线的弦,令方程为,故,(中点弦问题),是直线斜率的倒数 同理,焦点在轴上的拋物线,令方程为,故(中点弦问题),也可以通过斜率和差互换表示弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系:,如下: 作差得,其中是中点.或者说,若设的斜率为,则中点纵坐标.当拋物线的焦点在轴上时,可得,我们利用设而不求的点差法,将两点坐标之差的斜率转化为两点坐标之和的方法叫做斜率和差互换,同样方式,我们还可推导椭圆:和双曲线:的斜率和差互换模型. 2.中垂线过对称轴定点 ,若抛物线的弦中点为,则中垂线过定点, 同理,拋物线满足,若抛物线的弦中点为,则中垂线过定点. 3.顶点为直角的三角形斜边过定点 已知是抛物线的弦,直线过定点时,, 同理,已知是抛物线的弦,直线过定点 4.抛物线对称角平分线定理 抛物线与直线相交于两点,联立得消去得:;即由此推出两大定理. 定理1:过对称轴上任意一定点的一条弦,端点与对应点的连线所成角被对称轴(所在直线)平分. 定理2:过点的任一直线交抛物线于两点,点关于轴的对称点,则点三点共线.(对称之点,三点共线) 证明:(1)当直线过点时,根据※得:,当直线过点时,即,根据拋物线的对称性可知,直线过点,故直线与关于轴对称,即被对称轴平分. (2)当直线过点时,根据※得:,当直线过点关于轴对称的点时,即,根据拋物线的对称性可知,直线过点,即点在直线上,则点三点共线. 5.轴点等比与斜率比值 已知拋物线,过点的动直线交拋物线于两点,直线分别交抛物线于点,则: