专题19 导数概念与运算,切线方程和变换 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题19 导数概念与运算,切线方程和变换 题型一导数概念 理解起来,就是分子括号里的差要和分母完全对称对应,如果不对称,那么配凑一下即可. 如:由于,故; ,故; ,故; , 故; 例题精选 【例1】设函数在处可导,则等于 A. B. C. D. 【例2】(2022.哈尔滨期末)已知是函数的导函数,若,则 A.4 B.2 C.8 D. 【例3】 (2022.南阳期末)已知是定义在上的可导函数,若,则 A.0 B. C.1 D. 【例4】已知函数在处可导,则 A. B. C. D. 题型二导数的运算 1.导数的四则运算法则: (1)函数和(或差)的求导法则:设是可导的,则,即两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差). (2)函数积的求导法则:设是可导的,则,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘上第二个函数的导数. 由上述法则即可以得出,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数. 2.函数的商的求导法则:设是可导的,,则. 特别是当时,有. 复合函数的导数和函数的导数间关系为 (1)将复合函数分解为基本初等函数 (2)将对的导数记为将对的导数记为 (3) 同理, (1)将复合函数分解为基本初等函数 (2)将对的导数记为,将对的导数记为 (3) 【例5】下列求导运算正确的是() A. B. C. D. 【例6】(2022・新课标III)设函数,若,则 . 题型三赋值法求的函数解析式 在这里是一个常数,故先求导,得:,再将代入即可求出常数. 【例7】(2022•眉山期末)已知函数的导函数是,且,则 A.1 B.2 C.12 D.24 【例8】(2022•赤峰期末)已知,则的值为() A. B. C. D. 题型四切线方程与切线条数问题 (1)导数的几何意义: 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率. 注: 切线方程的计算: (2)在点处的切线方程:,抓住关键: (3)过点的切线方程:设切点为,则斜率,过切点的切线方程为:所以,又因为过点,所以然后解出的值.(有几个值,就有几条切线) 【例9】(2021-甲卷)曲线在点处的切线方程为 . 【例10】(2022.新高考II)曲线过坐标原点的两条切线的方程为 . 【例11】(2022.新高考若曲线有两条过坐标原点的切线,则的取值范围是 . 【例12】(2021•新高考若过点可以作曲线的两条切线,则() A. B. C. D. 题型五公切线问题 切线问题,按照纯代数运算来说就是设点解方程,公切线也是两个方程共解. (1)公切线定理代数表达: 当与具有公切线时,设直线与切于点,与切于点, 当与切于同一点,设切点为,则有 当与为平行曲线,即,则有 证明:因为与有公切线,设切点为,切点为,则一定有, 所以,根据公切线方程 可得:,所以,即 如果按照数形结合来理解,就是与,两点确定公切线, 两切点连线的斜率就是公切线斜率,即将切点左移单位,再下移单位, 这样得到点,所以公切线斜率 公切线方程的等量关系,求参数取范围或者切点的取值范围. 【例13】(2016.新课标若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则 . 【例14】已知函数. (1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点; (2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线. 【例15】(2022甲卷)已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线. (1)若,求; (2)求的取值范围. (2)公切线的几何探秘与是否有公切线,决定它们公切线条数的是函数凹凸性和相同的单调区间交点. 凹凸性相同的两曲线,在两个曲线时,两个函数均为凹函数,且时均在递增区间, 如图,若与无交点,可以类比于两个圆的外公切线,当小圆内含于大圆时,无公切线; 内含型无公切线 (2)若与有唯一交点时,如图,可以类比于当小圆与大圆内切时,有唯一的外公切线; 内切型有一条外公切线 (3)若与有两个交点时,如图,可以类比于当小圆与大圆相交时,有两条外公切线; 同旁相交型两条外公切线 同理,凹凸性不同的两条曲线,在两个曲线为凹函数,为凸函数时,且,,两个函数均在递增区间; (4)如图,若与有两个交点,可以类比圆的内公切线,当两圆相交时,无内公切线; 非同旁相交型无公切线 (5)若与有唯一交点时,如图所示,可以类比于当两圆外切时,有唯一的内公切线. 外切型有一条内公切线 (6)若与无交点时,如图所示,可以类比于当两圆相离时,有两条内公切线. 外离型有两条内公切线 【例16】(2022石家庄期末.多选)若两曲线与存在公切线,则正实数的取值可能是() A. B.4 C. D. 【例17】(多选)若曲线与存在公共切线,则实数的可能取值是() A. B.e