专题24 同构体系 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题24 同构体系 有同构，即有MST，似乎我们被广大读者朋友们认识就是因为同构，同构仅仅是一个数学处理数据的工具，并非什么神秘的事件，在此我们仅仅想跟大家一起来解读它，在思维中不断深化它，考场中应用好它. 问题一：同构是怎么出现的？ 导数压轴题的元素含有初等函数，比如，比如等，也会含有高等函数，比如和，最初是考三次函数为主，过度到一个高等函数搭配一个初等函数一起考，再到两个高等函数搭配初等函数形成的“大混合”，于是解决此问题最佳方案的“同构”闪亮登场. 问题二：同构式到底是什么？ 同构式源于指对跨阶的问题，与属于连续跨阶函数，而属于跳跃跨阶函数，所以指对跳跃跨阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来处理，但通过指对跨阶函数进行同构，即我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过构造连续跨阶的同构函数，变成了两阶问题，类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列，所以，通过构造连续跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算． 问题三：有哪些常见的同构函数？ 第一类：构造单调函数 如图，，易知为单调增函数（图1），则也为单调增函数（图2），我们知道，故一定有（图3） 图1 图2 图3 例题精选 【例1】(2022山山西模拟)已知不等式,对于任意的恒成立,则的最大值 . 【例2】(2022.2月云南师大附中理科)已知函数.若不等式恒成立,求实数的取值范围. 题型二构造连续跨阶的最值函数 说到这里,就会有我们常见的八大经典同构函数,它们都有最值,都有单调性的变化,此类型考题,也将数学中的对称和谐之美体现得淋漓尽致. 如图4,如果,故在区间单调递减,在区间单调递增,. 同理,如图5:,当,即单调递减,当,即单调递增,. 如图6:,即将关于原点对称后得到,故可得在区间单调递增,在区间单调递减,当时,. 图7 图8 图9 如图7:,实现了凹凸反转,原来最小值反转后变成了最大值,或者令,当,即单调递减,当,即单调递增,. 如图8:,属于分式函数,将关于原点对称后得到,故可得在区间单调递减,在区间单调递增,当时,. 如图9:令,故可得在区间单调递减,在区间单调递增,当时,. 【例3】设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的取值范围是 . 【例4】对于任意的,不等式,且)恒成立,则的取值范围是 . 题型三切线同构函数 如图10所示,令时,,故在区间单调递减,在区间单调递增,; 如图11所示,,当,即单调递减,当,即单调递增,; 图10 这是高中阶段两个最重要的切线函数,由于它们的最小值都是0,也成为了高考中最重要的非负函数,能够使用函数的非负性解题,比如,当且仅当时等号成立,由于涉及同构,故我们称之为同构式保值性. 至此,八大核心的同构函数介绍完毕,前面的之所以没有纳入进来,就是因为其只有单调性,没有最值,因此无法使用保值性来构造非负函数解题,能成为经典,必定不单调. 【例5】(2022•新高考1)已知函数和有相同的最小值. (1)求; (2)证明:存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 问题四:同构函数有哪些性质? 第一:利用八大同构函数求最值;第二:利用同构函数寻找数据等量关系;第三:利用同构函数单调性和保值性解决非负恒成立问题. 利用八大同构函数求最值 图13 图14 图15 图16 如图13:,即将向右平移1个单位,再将纵坐标扩大为原来的倍,故可得在区间单调递减,在区间单调递增,当时,. 如图14:令,将左移一个单位,再将纵坐标缩小为原来的倍,故可得在区间单调递减,在区间单调递增,当时,. 如图15:令,当,即单调递减,当,即单调递增,. 如图16:令,当,即单调递减,当,即单调递增,. 注意:关于的最值问题,,当且仅当时取得最小值; 同理,,当时,能取得最小值当时,若,能取到最大值,都是当且仅当取到. 【例6】函数的单调增区间为( A. B. C. D. 【例7】已知函数,若存在,使得成立,则的最大值为 . 【例8】(2022.3月河北五校联盟单选压轴已知实数满足,则 A. B. C. D. 【例9】(2022・成都三诊理科单选压轴若函数的零点为,则 A. B.1 C. D.2 【例10】(2023.成都零诊选择压轴若正实数是函数的一个零点,是函数的一个大于的零点,则的值为() A. B. C.e