专题25 导数零点难解答,ATM找点法讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题25 导数零点难解答,ATM找点法 函数中存在零点，通常我们寻找这个零点，需要用到零点存在定理，就是当时，一定有，这样说明在区间内一定有一个零点. 只要高考题中出现了零点问题，那就需要进行找点，就是找出这个和，一些不太会操作找点的同学，经常把找点当作玄学，其实找点的本质就是一句话:把不可解方程转化为可解方程。 我们来看一下，什么样方程可以在中学的范围内解出来。 ①; ②; ③; ④; ⑤时，; 说起来就是这么简单，总共就是这五个可解方程，其中①和⑤甚至可以合并，我们就是将一系列方程式转化为这五个可解方程式，并把零点求出来，其中体现了不等式放缩能力和技巧，函数的求单调和极值的基本功，还有方程的转化求解能力，属于“函数方程不等式”综合能力考查，因此成为高考的重中之重。 一.零点个数问题分类 既然“三位一体”，我们先从处于老大地位的函数下手，零点个数涉及的函数知识，我们总结如下: (1)当有一个零点时， ①单调， 如图5-1，当时，我们需要找到、，且，; 如图5-2，当时，我们需要找到、，且，; 5-1 5-2 ②不单调，且仅有一个极值时，单调，，使，且， 如图5-3,5-4; 5-3 5-4 ③不单调，且有两个极值时，单调，，使，且，如图5-5，5-6; 5-5 5-6 关于②和③，建议大家先求导，并作出导函数图象后进行分析，更容易加深问题的理解; (2)当有两个零点时， ①单调，，使，且，，如图5-7，5-8; 5-7 5-8 ②不单调，且有两个极值时，单调，，使，且或者，如图5-9，5-10; 5-9 5-10 (3)当有三个零点时，会有三次函数的零点，这里涉及到四段论，我们在三次函数专题已经分析过，或者出现的指对函数会有一个已知的显零点，然后转化为两个零点的情况，或者是对数和飘带函数之间的三个零点问题，属于特殊题型的问题，具体将会在下一节讲解。 一旦涉及零点个数问题，必须要找点，首先求导搞定函数的单调性分析，再根据零点存在定理找到和，使得，找点问题在于意识。 二.找点的方程不等式原理 (1)单零点的楞次找点法原理 物理学电磁感应有一个重要的定理叫做“楞次定理”，其中最重要的一句口诀叫做“增反减同”，这个原理也能应用在找点上，就是单调递增的函数，需要找到，使，我们在找大点的时候需要一个更小的函数，使;找小点则需要构造一个更大的函数，使 (如图)，我们将此叫做“增反”，即增函数找大点构造小函数，找小点构造大函数，当然以及都是我们上面介绍的那五个可求出零点的函数; 减函数则满足“减同”，即减函数找大点构造大函数，找小点构造小函数(图5-12); 图5-11 图5-12 (2)单峰函数双零点问题找点原理 我们将只有一个极值的函数称为单峰函数，当函数极大值大于零或者极小值小于零，通常会有两个零点，高考中一旦需要我们去找这两个零点时，我们也可以根据楞次找点法进行分析，两边都构造放缩函数，得到可解方程。我们通常将零点当中的较小零点用表示，较大零点用表示。 若为函数唯一极小值点，那么我们需要找到，，我们可以利用不同的范围来进行放缩，当时，构造，当时，一定有(如图5-13);同理当时，构造，当时，一定有(如图5-14);当然和通常都是零点易求的函数。由于和不是唯一的，我们有多种构造方法和构造选择，故我们把这类型极小值小于零的两个零点问题的放缩找点类型称为“众星捧月”。 图5-13 图5-14 同理，在极大值大于零的两个零点问题时，则需要构造“仙女散花”的模型(如图5-15，5-16) 图5-15 图5-16 三.ATM找点之Area 找点的本质就是替换函数方程，关于将一个函数放大或者缩小，如果去放缩整个函数，那么就会出现一些问题，首先就是要使用不等式，一些课本上没有的不等式是需要证明的，其次就是符号的问题，以这类乘除型函数，在区间和区间时，不等式选取会有不同，在它的单调区间和又会有不一样的方式选择，所以选择一种方式，需要逻辑清晰且易于上手操作，这是高考对我们的要