模型28 勾股定理——垂美四边形模型-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

勾股定理 模型（二十八）——垂美四边形模型 【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC2. ②S四ABCD＝ AC·BD 【证明】 ①∵AB²＝a²＋b2² CD²＝c²＋d2² ∴AB²＋CD²＝a²＋b²＋c²＋d2² ∵BC²＝a2＋ d2² AD²＝ b²＋c2² ∴BC²＋AD²＝a2＋b²＋c²＋ d2² ∴AB²＋CD²＝AD²＋BC2². ② S四ABCD＝ BD·a＋ BD·c＝ BD(a＋c)＝ AC·BD 1．（2022·山西忻州·八年级期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长． 1．（2021·湖南永州·八年级期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长． 2．（2021·江西赣州·八年级期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形） （3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长． 1．（2020·浙江宁波·八年级期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是　 　． （2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上． （3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形． （4）如图3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，以AC为边在AC的右上方作等腰三角形，使四边形ABCD是垂等四边形，请直接写出四边形ABCD的面积． 2．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理 模型（二十八）——垂美四边形模型 【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC2. ②S四ABCD＝ AC·BD 【证明】 ①∵AB²＝a²＋b2² CD²＝c²＋d2² ∴AB²＋CD²＝a²＋b²＋c²＋d2² ∵BC²＝a2＋ d2² AD²＝ b²＋c2² ∴BC²＋AD²＝a2＋b²＋c²＋ d2² ∴AB²＋CD²＝AD²＋BC2². ② S四ABCD＝ BD·a＋ BD·c＝ BD(a＋c)＝ AC·BD 1．（2022·山西忻州·八年级期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以的直角