模型31 平行四边形——梯子模型-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

平行四边形 模型（三十一）——梯子模型 【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P为AB的中点。 ◎结论：线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值。 【证明】如图在 Rt△AOB 中，点Q是中点，∴OQ=AB. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= ＝. 若OC要取得最大值，则 O，Q，C三点共线，即 OC=OQ+QC，即 OC=AB+。 1．（2022·河南·开封市第十三中学八年级期中）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（    ）　 A． B． C． D． 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是_____． 1．（2022·广东·陆河县水唇中学八年级阶段练习）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值． 1．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm （1）若OB＝6cm． ①求点C的坐标； ②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点C与点O的距离的最大值是多少cm． 2．在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙20米，如图． （1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升5米（云梯长度不变），那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？ 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形 模型（三十一）——梯子模型 【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P为AB的中点。 ◎结论：线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值。 【证明】如图在 Rt△AOB 中，点Q是中点，∴OQ=AB. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= ＝. 若OC要取得最大值，则 O，Q，C三点共线，即 OC=OQ+QC，即 OC=AB+。 1．（2022·河南·开封市第十三中学八年级期中）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（    ）　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解． 【详解】取中点，连接、、， ， ． 在中，利用勾股定理可得． 在中，根据三角形三边关系可知， 当、、三点共线时，最大为． 故选． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键． 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是_____． 【答案】2+ 【分析】取AC的中点P，连接OP，BP，OB，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP的长．在Rt△ABP中，由勾股定理得到BP的长．在△OBP中，根据三角形三边关系定理得到OB≤OP+BP，当O、P、B三点共线时取等号，从而得到OB的最大值． 【详解】取AC的中点P，连接OP，BP，OB，则OP=AC=2．在Rt△ABP中，BP=． 在△OBP中，OB≤OP+BP，当O、P、B三点共线时取等号，∴OB的最大值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的斜边的一半和勾股定理．解题的关键是构造三角形OPB． 1．（2022·广东·陆河县水唇中学八年级阶段练习）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有