6.2.1&6.2.2向量基本定理与直线上向量的坐标及其运算-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步知识梳理+常考题型（人教B版2019必修第二册)

6.2.1向量基本定理6.2.2直线上向量的坐标及其运算 题型1 基底的概念及辨析 2 题型2 用基底表示向量 6 ◆类型1利用向量的线性运算转化 6 ◆类型2列方程（组） 8 题型3 利用平面向量的基本定理求参数 12 题型4 直线上的坐标及运算 16 知识点一.平面向量基本定理 1. 平面向量基本定理： 条件 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2．对基底的理解 (1)基底的两个主要特征 ①基底是两个不共线向量； ②基底的选择是不唯一的． 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 3．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 4．平面向量基本定理的应用 (1)平面向量基本定理唯一性的应用：设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 (2)重要结论设{e1，e2}是平面内一个基底 a=λ1e1+λ2e2 λ2=0时，a与e1共线 λ1=0时，a与e2共线 λ1=λ2=0时，a=0 知识点二.直线上向量的坐标及运算 1.直线上向量的坐标 ①给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数×，使得a=xe，此时,x称为向量a的坐标； ②在直线l上指定原点0，以e的方向为正方向，如果把向量的始点平移到原点0，那么a 的终点对应的数就是向量a的坐标。 2.直线上向量的运算及坐标关系 如果直线上的两个向量a，b的坐标分别为x1，x2， （1） a=b的充要条件是x1=x2； （2） a+b的坐标为x1+x2; （3） 设A（x1），B（x2）是数轴上的两点，M（x）是线段AB的中点，则AB=|x1-x2|,. 题型1 基底的概念及辨析 【例题1】若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】1．已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】2．（多选）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】3.设、是平面内的两个向量，则有 A．、一定平行 B．、的模相等 C．对同一平面内的任一向量，都有 D．若、不共线，则对平面内的任一向量都有 【变式1-1】4.如果，是平面内所有向量的一组基底，那么 A．若实数，使，则 B．空间任一向量可以表示为，这里， C．对实数，，不一定在平面内 D．对平面中的任一向量，使的实数，有无数对 【变式1-1】5.已知是平面内两个不共线的向量，给出下列四个命题： ①可以表示平面内的所有向量； ②对于平面内的任意向量，使的实数，有无数对； ③若向量与共线，则有且只有一个实数，使得； ④若实数，，使，则 其中假命题的是 A．①② B．②③ C．③④ D．仅② 题型2 用基底表示向量 【方法总结】 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种： ①是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止； ②是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． ◆类型1利用向量的线性运算转化 【例题2-1】在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】1．如题图所示，点D是的边BC上的点，且，，，若用，表示，则_________． 【变式2-1】2.如图，在平行四边形中，为边的中点，N为线段上靠近A点的三等分点，则=（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】3.已知在中，为线段上一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【变式2-1】4.如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么＝( ) A． B． C． D． ◆类型2列方程