5.3.2.2 函数的最大（小）值 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.2.2 函数的最大（小）值 课程标准 课标解读 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值． 3.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围. 4.能利用导数解决一些简单的恒成立问题． 通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（ 小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题. 知识点1 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． (3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 【即学即练1】如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值． 【即学即练2】设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的极值点一定是最值点 B．f(x)的最值点一定是极值点 C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点 【即学即练3】下列结论正确的是(　　) A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 【即学即练4】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点2 用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 【即学即练5】求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]． 【即学即练6】函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　) A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值 C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值 考点一 函数的最值与极值的关系 解题方略： 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 【例1-1】函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ） A．是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 变式1：【多选】定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ） -1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 A．函数的极值点的个数为3 B．函数的单调递减区间为 C．若时，的最大值是2，则t的最大值为4 D．当时，方程有4个不同的实根 变式2：【多选】下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　) A．f(x)>0的解集是{x|0<x<2} B．f(－)是极小值，f()是极大值 C．f(x)没有最小值，也没有最大值 D．f(x)有最大值无最小值 考点二 求函数的最值 解题方略： 1、求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)