5.3.2 第1课时 函数的极值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数极值，系统讲解极值的概念、判定条件及求法，通过课前自主落实基础构建知识框架，课堂以梯度进阶式教学衔接导数与单调性，形成从概念到应用的学习支架。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，结合数学眼光（图象分析极值点切线特征）、数学思维（逻辑推理极值判定）、数学语言（规范解题步骤），如题型从辨析到求极值再到参数问题层层深入，思维建模总结方法，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 函数的极值 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.体会导数与单调性、极值的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.极小值点与极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧________,右侧________,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 2.极大值点与极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧________,右侧_______,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. _________ 、 _________统称为极值点,_______ 和_______统称为极值. f'(x)<0 f'(x)>0 f'(x)>0 f'(x)<0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 |微|点|助|解| 1.对于极值的认识 (1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的. (2)若f(x)在某区间内有极值,则f(x)在该区间内一定不具有单调性,即在区间上具有单调性的函数没有极值. 2.对于函数极值点的认识 (1)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. (2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的. (3)从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0.并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 3.求函数y=f(x)的极值的方法 解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是________. (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是________. 极大值 极小值 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点. (　　) (2)函数的极小值一定小于它的极大值. (　　) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. (　　) (4)如果f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不具有单调性. (　　) 基础落实训练 × × × √ 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 3.已知函数f(x)=2x-2ex,则 (　　) A.f(x)有极小值,且极小值为0 B.f(x)有极小值,且极小值为-2 C.f(x)有极大值,且极大值为0 D.f(x)有极大值,且极大值为-2 √ 解析:由f(x)=2x-2ex,得f'(x)=2-2ex,令f'(x)=2-2ex=0⇒x=0,当x>0时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,当x<0时,f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递增, 所以x=0时,函数f(x)=2x-2ex有极大值为f(0)=-2.故选D. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　函数极值的辨析 [例1]　[多选]已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则 (　　) A.函数f(x)有极大值f(2) B.函数f(x)有极大值f(-2) C.函数f(x)有极小值f(-2) D.函数f(x)有极小值f(2) √ √ 解析:由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值. |思|维|建|模| 　　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.若由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值. 针对训练 1.[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)在区间(1,3)内单调递减 B.f(1)<f(2) C.函数f(x)在x=1处取极大值 D.函数f(x)在区间(-2,5)内有两个极小值点 √ √ 解析:由导函数y=f'(x)的图象,可知函数f(x)在(1,2)内单调递增,在(2,3)内单调递减,故f(1)<f(2),故A错误,B正确;由导函数的图象,可知f(x)在(-1,2)内单调递增,故x=1不是函数的极大值点,故C错误;由导函数图象可得在区间(-2,5)内有f'(-1)=f'(4)=0,且在(-2,-1)与(3,4)内导函数小于0,在(-1,0)和(4,5)内导函数大于0,故x=-1和x=4为函数的两个极小值点,故在区间(-2,5)内有两个极小值点,故D正确.  题型(二)　求函数的极值 [例2]　求下列函数的极值点和极值. (1)f(x)=x3-x2-3x+3; 解:f(x)=x3-x2-3x+3的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3. 令f'(x)=0,得x1=3,x2=-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此当x=-1时,f(x)有极大值,并且极大值为f(-1)=;当x=3时,f(x)有极小值,并且极小值为f(3)=-6. (2)f(x)=+3ln x. 解:函数f(x)=+3ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+=, 令f'(x)=0得x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 因此当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=3;无极大值. |思|维|建|模| 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求函数的定义域; (2)求函数的导数f'(x); (3)令f'(x)=0,求出全部的根x0; (4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内; (5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则在x0处取得极小值. 针对训练 2.已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-2)x+3-e. (1)求实数a,b的值; 解:f'(x)=ex+(x-1)ex-2ax=xex-2ax, 由题意知,f'(1)=e-2a=e-2,所以a=1, 又因为f(1)=-1+b=(e-2)×1+3-e=1,所以b=2. (2)求f(x)的单调区间和极值. 解:由(1)知f'(x)=xex-2x=x(ex-2), 当x∈(-∞,0)时f'(x)>0;当x∈(0,ln 2)时,f'(x)<0;当x∈(ln 2,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(ln 2,+∞),单调递减区间是(0,ln 2). 当x=0时,f(x)取得极大值f(0)=1; 当x=ln 2时,f(x)取得极小值f(ln 2)=2ln 2-(ln 2)2. 题型(三)　由函数极值求参数的值或范围 [例3]　(1)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是 (　　) A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) √ 解析:函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,所以f'(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,所以其导函数f'(x)=0有两个不同的解,Δ=4a2-4×3 (a+6)>0,所以a<-3或a>6. (2)[多选]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是 (　　) A.a+b=0 B.a+b=-7 C.f(x)一定有两个极值点 D.f(x)一定存在单调递减区间 √ √ √ 解析:函数f(x)=x3+ax2+bx+a2定义域为R,求导得f'(x)=3x2+2ax+b,依题意, 即解得或当时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函数f(x)在R上单调递增,无极值不符合题意,当时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),当x<-或x>1时,f'(x)>0, 当-<x<1时,f'(x)<0,因此函数f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减,f(x)在x=1处取得极小值,符合题意, 则a+b=-7,A不正确,B正确;函数f(x)在x=-处取得极大值,f(x)一定有两个极值点,C正确;f(x)一定存在单调递减区间,D正确. |思|维|建|模| 已知函数的极值情况求参数时应注意两点 待定 系数法 根据极值点处导数值为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解 验证 因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证 针对训练 3.若函数f(x)=x3-ax2+ax在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,0) B. C. D. √ 解析:由f(x)=x3-ax2+ax,得f'(x)=x2-2ax+a,因为f(x)在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,所以解得1<a<. 4.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处取得极大值为4,极小值为0,试确定a,b,c的值. 解:f'(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b),由题意,f'(x)=0应有根x=±1,故5a=3b,于是f'(x)=5ax2(x2-1),当a>0时,如表所示. x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 非极值 单调递减 极小值 单调递增 当a>0时,由表可得,f(x)极大值为f(-1)=4,即-a+b+c=4　①, f(x)极小值为f(1)=0,即a-b+c=0　②, 又5a=3b　③, 解①②③得a=3,b=5,c=2. 当a<0时,同理可得f(x)极大值为f(1)=4, 即a-b+c=4,f(x)极小值为f(-1)=0,即-a+b+c=0, 又5a=3b,同理解得a=-3,b=-5,c=2. 所以a=3,b=5,c=2或a=-3,b=-5,c=2. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若函数y=f(x)可导,则“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的 (　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析: f'(x)=0,但f'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f(x)在零点处无极值,但f(x)有极值则f'(x)在极值点处一定等于0.所以“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论错误的是(　　) A.函数f(x)在区间(0,4)内单调递增 B.函数f(x)在区间内单调递减 C.函数f(x)在x=0处取得极小值 D.函数f(x)在x=3处取得极小值 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:根据导函数图象可知,在区间内,f'(x)<0,f(x)单调递减,在(0,4)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值,故A、B、C正确,D错误,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知函数f(x)=xex的极小值为 (　　) A.e B.-1 C.-e D.- √ 解析:因为f(x)=xex,所以f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0得x=-1,令f'(x)>0得x>-1,令f'(x)<0得x<-1,所以函数f(x)=xex在(-1,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以f(x)=xex的极小值为f(-1)=-e-1=-.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1) B.(0,+∞) C.(0,1) D.(-1,0) √ 解析:若a<-1,∵f'(x)=a(x+1)(x-a),∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)内单调递增,∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符;若-1<a<0,则f(x)在(-1,a)内单调递增,在(a,+∞)上单调递减,从而在x=a处取得极大值.若a>0,则f(x)在(-1,a)内单调递减,在(a,+∞)上单调递增,与题意矛盾,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知函数f(x)=x3-mx2+mx+9在R上无极值,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0)∪[1,+∞) C.[0,1] D.(0,1) √ 解析:因为函数f(x)=x3-mx2+mx+9在R上无极值,所以f'(x)=x2-2mx+m在R上无变号零点⇔Δ=4m2-4m≤0,解得0≤m≤1,即实数m的取值范围为[0,1].故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 (　　) A.∀x∈R,f(x)≥f(x0) B.-x0是f(-x)的极大值点 C.-x0是-f(x)的极小值点 D.-x0是-f(-x)的极小值点 √ √ 解析:函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的,故A不正确;f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象,故-x0应是f(-x)的极大值点,故B正确;-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象,故x0应是-f(x)的极小值点,跟-x0没有关系,故C不正确;-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称,再关于x轴作对称得到的图象,故D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图,直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则函数g(x)=f(x)-kx在(0,+∞)上的极大值点个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意,g(x)=f(x)-kx,则g'(x)=f'(x)-k,作出与直线y=kx+m平行的函数f(x)的所有切线,如图, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 各切线与函数f(x)的切点的横坐标依次为a,b,c,d,e, 则f(x)在a,b,c,d,e处的导数都等于k, 所以在(0,a),(b,c),(d,e)上,f'(x)>k,g'(x)>0,g(x)单调递增, 在(a,b),(c,d),(e,+∞)上,f'(x)<k,g'(x)<0,g(x)单调递减, 因此函数g(x)=f(x)-kx有三个极大值点,有两个极小值点.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),易知当x∈(1,3)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故x=3是函数f(x)的极小值点,故A正确;当0<x<1时,x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2 >0,而由上可知,函数f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)>f(x2),故B错误;当1<x<2时,1<2x-1<3,而由上可知,函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以f(1)> f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<0,故C正确;当-1<x<0时,f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0,所以f(2-x)>f(x),故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导数y=f'(x)的图象如图所示,则函数的极小值是________.  c 解析:依题意f'(x)=3ax2+2bx.由题图可知,当x<0时,f'(x)<0,当0<x<2时,f'(x)>0,故x=0时函数f(x)有极小值,极小值为f(0)=c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数 a=______.  - 解析:因为f'(x)=+2bx+1,由题意得 解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)函数f(x)=ax3-6x的一个极值点为1,则f(x)的极大值是______.  4 解析:f(x)=ax3-6x定义域为R,f'(x)=3ax2-6,由题意得,f'(1)=3a-6=0,解得a=2,故f'(x)=6x2-6.令f'(x)=0,解得x=±1,令f'(x)>0,得x>1或x<-1,f(x)=2x3-6x单调递增,令f'(x)<0,得-1<x<1,f(x)=2x3-6x单调递减,故f(x)=2x3-6x在x=-1处取得极大值,极大值为f(-1)=-2+6=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知f(x)=x3-x2+2x+1,x1,x2是f(x)的两个极值点,且0<x1<1< x2<3,则实数a的取值范围为________.  解析:∵f'(x)=x2-ax+2,∴x1,x2是f'(x)=0的两个根,由0<x1<1<x2<3, 结合二次函数的性质,得解得3<a<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)求下列函数的极值: (1)f(x)=ex-x;(5分) 解:函数定义域为R,f'(x)=ex-1.令f'(x)=0,解得x=0. 当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增. 所以当x=0时,函数f(x)取得极小值,且极小值为f(0)=1,函数f(x)无极大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)f(x)=x-ln(x+1).(5分) 解:函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=1-=. 令f'(x)=0,得x=0. 当-1<x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增. 所以当x=0时,函数f(x)取得极小值,且极小值为f(0)=0,函数f(x)无极大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)设函数f(x)=ex(ax2+bx-3),且满足f()=0,f'(0)=-3. (1)求实数a+b的值;(4分) 解:f(x)=ex(ax2+bx-3),则f'(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b-3], 即解得 故实数a+b的值为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求函数f(x)的极值.(6分) 解:由(1)得f(x)=ex(x2-3),函数定义域为R, f'(x)=ex(x2+2x-3),由f'(x)>0,解得x<-3或x>1; 由f'(x)<0,解得-3<x<1. 则f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,在(-3,1)内单调递减. 当x=-3时,f(x)有极大值f(-3)=;当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2e. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a<2,x∈R). (1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(5分) 解:f(x)=(x2+x+1)ex,f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex. 当f'(x)>0时,解得x<-2或x>-1; 当f'(x)<0时,解得-2<x<-1. ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(-1,+∞), 单调递减区间为(-2,-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.(10分) 解:令f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0, 解得x=-a或x=-2.∵a<2,∴-a>-2,列表如下. x (-∞,-2) -2 (-2,-a) -a (-a,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知f(x)极大值=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3, 解得a=4-3e2<2.∴存在实数a<2,使f(x)的极大值为3,此时a=4-3e2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $