北京市第十三中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

2021北京十三中高二（上）期中 数 学 一.选择题（本大题共10小题，每题4分） 1．（4分）在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为　　 A． B． C． D． 2．（4分）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．（4分）如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是　　 A． B． C． D． 4．（4分）已知两不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，，0，，，1，，则　　 A．平面平面 B．平面平面 C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能 5．（4分）已知向量，1，，，0，，且与互相垂直，则的值是　　 A．1 B． C． D． 6．（4分）若为圆的弦的中点，则直线的方程是　　 A． B． C． D． 7．（4分）在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则与平面的距离是　　 A． B． C． D． 8．（4分）已知实数，满足，那么的最小值为　　 A． B． C． D． 9．（4分）若是圆上任一点，则点到直线距离的值不可以为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 10．（4分）若点为点在平面上的正投影，则记．如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），，．给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得． 其中，所有正确结论的序号是　　 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 二、填空题（共6小题，每小题5分） 11．（5分）若圆与外切，则正数的值是 　　． 12．（5分）已知直线与垂直，则的值为 　　． 13．（5分）直线与直线，分别相交于、两点，线段的中点坐标为，那么直线的斜率为　　． 14．（5分）如图，在长方体中，设，，则　　，　　． 15．（5分）已知，1，，，3，，，7，，点，，在平面内，则　　． 16．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，，2，3． （1）记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则，，中最大的是　　． （2）记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则，，中最大的是　　． 三、解答题（本大题共80分，解答需写出详细的证明过程和演算步骤） 17．（12分）如图，已知点，，是以为底边的等腰三角形，点在直线上． （Ⅰ）求边上的高所在直线的方程； （Ⅱ）求的面积． 18．（13分）如图，在正方体中，设．，分别是，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）设为线段上任意一点，求证：． 19．（13分）已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）设直线经过点，且与圆相切，求直线的方程． 20．（13分）已知直线过坐标原点，圆的方程为． （Ⅰ）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长； （Ⅱ）设直线与圆交于两点，，且为的中点，求直线的方程． 21．（15分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，．平面，是的中点，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 22．（14分）已知，，动点满足． （Ⅰ）求点的轨迹方程； （Ⅱ）若点是圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于，两点，直线与轴交于点，求证：是定值． 2021北京十三中高二（上）期中数学 参考答案 一.选择题（本大题共10小题，每题4分） 1．【分析】由直线的倾斜角可求直线的斜率，根据直线方程的斜截式可求直线方程 【解答】解：由题意可得，直线的斜率 根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为即 故选：． 【点评】本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用，属于基础试题 2．【分析】根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，方程表示一个圆， 则有， 解可得，即的取值范围为，； 故选：． 【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，涉及圆的一般方程，属于基础题． 3．【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出． 【解答】解： 故选：． 【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决． 4．【分析】计算，，得出平面，从而得出平面平面． 【解答】解：由题意，计算，得； 计算，得； 所以平面， 所以平面的法向量与平面的法向量共线，则平面平面． 故选：． 【点评】本题考查了平面的法向量应用问题，是基础题． 5．【分析】由向量，1，，，0，，求得与的坐标，代入数量积的坐标表示求得值． 【解答】解：，1，，，0，， ，1，，0，，，， ，1，，0，，2