北京师范大学附属实验中学2021-2022学年高二上学期期中数学试卷

2021北京北师大实验中学高二(上)期中 数 学 一、单项选择题(本题共10个小题,在每小题列出的四个选项中,只有一项最符合题意,每小题4分,共40分。) 1.化简的结果为( ) A. B. C. D. 2.如果空间向量不共面,且,则的值为( ) A. B. C. D. 3.已知是正方形的中心,点为正方形所在平面外一点,则( ) A. B. C. D. 4.在空间直角坐标系中,已知点下列叙述中正确的是( ) ①点关于轴的对称点是 ②点关于平面的对称点是 ③点关于轴的对称点是 ④点关于原点的对称点是 A.①② B.①③ C.②④ D.②③ 5.已知直线与直线平行,则的值为( ) A. B. C. D. 6.在的展开式中常数项是( ) A. B. C. D. 7.已知直三棱柱中,,,则的值为( ) A. B. C. D. 8.已知直线的斜率为,直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半,则直线的斜率为( ) A. B. C. D.不存在 9.如图所示,已知正方体中,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为,( ) A. B. C. D. 10.马路上有依次编号为的9盏路灯,为节约用电,某个时段可以把其中3盏灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏,而且两端的灯也不能关掉,则满足条件的不同关灯方法的种数为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分) 11.已知向量,则_. 12.设,则_ 13.用排成无重复数字的三位偶数的个数为_ 14.已知点,则原点到平面的距离为_. 15.点关于直线的对称点的坐标为_ 16.如图,在长方体中,,点在棱上,当取得最小值时,则线段的长为_ 三、解答题(本题共6小题,共80分) 17.(本题满分13分) 已知点. (I) 求过点且与直线平行的直线的方程; (II) 求点到直线的距离. 18.(本题满分13分) 在棱长为4的正方体中,解答下列问题: (1) 点分别是线段和的四等分点,分别满足,求和所成角的余弦值; (2) 点是线段的四等分点,满足,求与平面所成角的正弦值. 19.(本题满分12分) 分别求满足下列条件的各圆的方程. (1) 过点且圆心在直线上; (2) 与轴相切,圆心在直线上,且被直线截得的弦长为. 20.(本题满分12分) 如图,已知四棱锥中,是直角梯形,,平面,. (1) 求点到平面的距离; (2) 求二面角的余弦值. 21.(本题满分15分) 如图,点是以为直径的圆上异于的点,平面平面.,分别是的中点,记平面与平面的交线为直线. (I) 求证:直线平面; (II) 求证:直线直线; (III) 直线上是否存在点,使直线分别与平面、直线所成的两角互余?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 22.(本题满分15分) 记集合,对于定义:为由点确定的广义向量,为广义向量的绝对长度, (1) 已知,计算; (2) 设,证明:; (3) 对于给定,若满足且,则称为中关于的绝对共线整点,已知, 1 中关于的绝对共线整点的个数为_; 2 若从中关于的绝对共线整点中任取个,其中必存在4个点,满足,则的最小值为_ 2 / 2 学科网(北京)股份有限公司 $