2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题提升训练(附答案) 1.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE. (1)若∠ABC=68°,求∠AED的度数; (2)若点P为直线DE上一点,AB=8,BC=6,求△PBC周长的最小值. 2.如图,在平面直角坐标系中,已知A(﹣4,3),B(﹣1,﹣2). (1)请在x轴上画出点C,使|AC﹣BC|的值最大. (2)点C的坐标为 ,|AC﹣BC|的最大值为 . 3.探究:如图所示,C为线段BD上一动点,分别过点B,点D作AB⊥BD,ED⊥BD,分别连接AC,EC.已知AB=5,ED=1,BD=8.设CD=x. (1)AC+CE的值为 .(用含x的代数式表示) (2)请问:当点A、C、E 时,AC+CE的值最小,最小值为 . (3)根据(2)中的规律和结论,请构图并求出代数式+的最小值. 4.在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄,A、B到l的距离分别是3km和2km,AB=akm(a>1).现计划在河岸l上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水. 方案设计: 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案: 图1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为d1,且d1=PB+BA(km)(其中BP⊥l于点P); 图2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为d2,且d2=PA+PB(km)(其中点A'与点A关于l对称,A'B与l交于点P). 观察计算: (1)在方案一中,d1= km(用含a的式子表示); (2)在方案二中,组长小强为了计算d2的长,作了如图3所示的辅助线,请你按小强同学的思路计算,d2= km(用含a的式子表示). 探索归纳: (3)①当a=4时,比较大小:d1 d2(填“>”、“=”或“<”); ②当a=6时,比较大小:d1 d2(填“>”、“=”或“<”); (4)请你把a(当a>1时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,如何对这两个方案进行选择? 5.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,AC=12,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE. (1)求证:△ABC≌△BDF; (2)M,N分别为AC,BE上的动点,连接AN,MN,求AN+MN的最小值. 6.已知:M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点, (1)如图1,若∠O=∠OMN,过M作射线MD∥OB(如图),点C是射线MD上一动点,∠MNC的平分线NE交射线OA于E点.试探究∠MEN与∠MCN的数量关系; (2)如图2,若P是线段ON上一动点,Q是射线MA上一动点.∠AOB=20°,当MP+PQ+QN取得最小值时,求∠OPM+∠OQN的值. 7.如图,等边△ABC(三边相等,三个内角都是60°的三角形)的边长为10cm,动点D和动点E同时出发,分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动,其中一个动点到终点时,另一个也停止运动,设运动时间为ts,0<t≤10,DC和BE交于点F. (1)在运动过程中,CD与BE始终相等吗?请说明理由: (2)连接DE,求t为何值时,DE∥BC; (3)若BM⊥AC于点M,点P为BM上的点,且使PD+PE最短.当t=7s时,PD+PE的最小值为多少?请直接写出这个最小值,无需说明理由. 8.Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=4,AC的中垂线DE交AC于D,交BC于点E. (1)如图1,连接AE,则AE= ; (2)如图2,延长DE交AB的延长线于点F,连接CF,请求出CF的长; (3)如图3,点P为直线DE上一动点,点Q为直线AB上一动点,则BP+PQ的最小值为 . 9.如图,△ABC内接于半径为2的⊙O,其中∠ABC=45°,∠ACB=60°,CD平分∠ACB交⊙O于D,点M、N分别是线段CD、AC上的动点,求MA+MN的最小值. 10.最值问题. (1)如图1,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,求AP+BP+CP的最小值. (2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点M在AC边上,且AM=2,MC=6,动点P在AB边上,连接PC、PM,能使PC+PM的长度最短. ①请通过画图指出点P的位置. ②求出PC+PM的最短长度. 11.如图,在△ABC中.AB=AC,点E在线段BC上,连接AE并延长到G,使得EG=AE,过点G作GD∥BA分别交BC,AC于点F,D. (1)求证:△ABE≌△GFE; (2)若GD=3,CD=1,求AB的长度; (3)过点D作DH⊥BC于H,P是直线DH上的一个动点,连接AF,AP,FP,若∠C=45°,在(2)的条件下,求△AFP周长的最小值. 12.如