专题12 二次函数与直角三角形存在性问题-2023年中考数学重难点题型之二次函数（全国通用）

专题12 二次函数与直角三角形存在问题 解题点拨 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例： 【构造三垂直】 求法相同，以为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 还剩下待求，不妨来求下： （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 直击中考 1．（2022秋·山东威海·九年级校考期末）如图，抛物线经过平行四边形的顶点，抛物线与x轴另一交点为E，经过E点的直线l将平行四边形分割成面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F，P为直线l上方抛物线上一点，设点P横坐标为t． (1)求抛物线的解析式． (2)t为何值时，面积最大？ (3)是否存在点P使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 2．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值； (3)如图2直线l为该抛物线的对称轴，在直线l上是否存在一点M使为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2021秋·广东江门·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)直接写出：抛物线顶点M的坐标__________（用含m的代数式表示），A，B的坐标分别是A（__________），B（__________）； (2)求的面积（用含m的代数式表示）； (3)是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出，若不存在，请说明理由． 4．（2021秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，抛物线交y轴于点，交x轴于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点A、B、P构成的三角形是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点和点的坐标； (2)在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上求点，使是以为直角边的直角三角形． 6．（2021秋·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为3，求点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在轴上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2022·广西柳州·统考中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 8．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 9．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D在第二象限且