精品解析：北京市通州区2023届高三上学期期末数学试题

通州区2022—2023学年高三年级摸底考试 数学试卷 2023年1月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列中，，，则的通项为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，则等于（ ） A. B. 13 C. D. 29 5. 设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知半径为1圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（ ） A. 最大值，最小值 B. 最大值，最小值1 C. 最大值2，最小值 D. 最大值2，最小值1 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数共轭复数______. 12. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为___________. 13. 已知函数，若函数存在最大值，则的取值范围为______. 14. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为______. 15. 已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论： ①；②；③为等差数列；④. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数最小正周期为. （1）求的值； （2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 17. 如图，在四棱雉中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点. （1）求证:平面； （2）再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18. 为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得A平台问卷100份，B平台问卷80份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，数据统计如下： 好评 中评 差评 A平台 75 20 5 B平台 64 8 8 假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立. （1）估计买家对A平台的评价不是差评的概率； （2）从所有在A平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在B平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率； （3）根据上述数据，你若购物，选择哪个平台？说明理由. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0. 21. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为. （1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； （2）当时，若构成等比数列，求正整数； （3）记，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2022—2023学年高三年级摸底考试 数学试卷 2023年1月 本试卷共4页，共150分.考试时长12