浙江省宁波市九校2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题

宁波市2022学年第一学期期末九校联考高三数学试题卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（是虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 我国南北朝时期的数学名著《孙子算经》中“物不知数”问题的解法，西方人称之为“中国剩余定理”.现有这样一个问题，将到中被整除余且被整除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 若从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数的和是的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，若，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 7. 若，是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正中，，是边上的动点.若，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ） A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为 C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为 10. 已知正方体的棱长为2，是线段上的两个动点．若，则下列结论中正确的是（ ） A． B．的面积与的面积相等 C．直线与所成角的正切最小值为 D．三棱锥的体积为定值 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．的最小值为 D．在区间上单调递减 12. 若直线与椭圆交于两点，分别是椭圆的左、右焦点，是动点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是 . 14. 若四面体中，，，，则四面体的体积是 . 15. 若过点的直线自左往右交抛物线及圆于四点,则的最小值为________. 16. 已知函数,且关于的方程有三个不相等的实数解，，.若,则的值为________. 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正数数列中，，且. （1）求数列的通项公式; （2）式，证明，， 18. 已知中，内角都是锐角. （1）若，证明:； （2）若，且，求内切圆半径的最大值. 19. 如图，在中，，，且，分别为，的中点.现将 沿折起，使点到达点的位置，连结，，为的中点，连结. （1）证明：平面; （2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积. 20. 为了有效提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各50名，得到如下数据： 性别 锻炼 经常 不经常 女生 30 20 男生 40 10 （1）判断是否有的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关? （2）从这100名学生中随机抽取1人，已知抽取的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率; （3）从这100名学生中随机抽取2名学生进行访谈，设抽取的学生中经常参加体育锻炼的人数为，求的分布列和数学期琞. 附：， 21. 已知点时双曲线的右焦点，经过点斜率为的动直线交双曲线于 两点，点是线段的中点，且直线的斜率满足. （1）求的值； （2）设点在直线上的射影分别为，问是否