中原名校2022-2023学年高三上学期质量考评一理科数学试题

绝密★启用前 中原名校高三第一次质量考评 高三理科数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则的共轭复数= A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为 A．－32 B．32 C．64 D．－64 5．已知，则的大小关系正确的是 A． B． C． D． 6．已知实数满足不等式组，则的最大值为 A．20 B．18 C．12 D．4 7．已知双曲线的方程为（），其离心率，则双曲线的上焦点到其渐近线的距离为 A． B． C． D． 8．函数在内的极小值为 A． B． C． D． 9．已知函数，若为偶函数，且时，，若在上的值域为，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 10．在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”（如图1中的几何体为一个“刍甍”），图1是上底为a，下底为b的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为，“刍甍”的体积为，若（约等于0．618，被称为黄金分割比例，且恰好是方程的一个实根，台体的体积公式为），则 A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点（设点在第一象限），分别过作准线的垂线，垂足分别为，若为等边三角形，的面积为，四边形的面积为，则 A． B． C． D． 12．已知函数（为常数）满足，，若在[]上的最大值和最小值分别为m，n，则的值为 A． B． C． D．5或 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数的图象在处的切线方程为__________． 14．已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为__________． 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为，则的最小值为__________． 16．已知正三棱锥的底面边长为3，其外接球的球心在三棱锥的内部，且外接球的表面积为16π，若D为BC中点，则异面直线PD与AB所成角的余弦值为__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分） 已知数列是等比数列，若且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18．（本题满分12分） 如图，S为圆锥的顶点，O为底面圆心，点A，B在底面圆周上，且∠AOB=60°，点C，D分别为SB，OB的中点． （1）求证：AC⊥OB； （2）若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC与平面SOA所成的角的正弦值． 19．（本题满分12分） 在5月31日世界无烟日来临前夕，甲、乙两个单位随机抽取部分烟民进行调查，得到他们每月吸烟数量（单位：盒）的茎叶图如下所示． 甲单位 乙单位 9 8 6 5 4 0 6 7 8 2 2 0 0 0 1 1 2 3 7 3 2 2 2 3 3 1 （1）若规定每月吸烟不超过10盒称为“初级烟民”，否则称为“非初级烟民”．试根据所给的茎叶图，填写下列2×2列联表．并分析是否有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别； 初级烟民 非初级烟民 合计 甲单位烟民数（单位：个） 乙单位烟民数（单位：个） 合计 （2）设吸烟盒数的平均数为，方差为，若出现吸烟盒数不在内的烟民，则需要对该烟民进行跟踪观察，根据所给数据分析在乙单位调查的烟民中，是否有需要跟踪观察的烟民．（参考数据：） 附：，其中． 0.1 0.05 2.706 3.841 20．（本题满分12分） 如图，直线与椭圆E：交于M，N两点，与直线：交于点P，且椭圆E的离心率为． （1）若点M在第二象限，且的最小值为（其中O为坐标原点），求椭圆E的方程； （2）若椭圆的方程为（1）中所求方程，且，求的取值范围． 21．（本题满分12分） 已知函数． （1）若的极小值为，求实数a的值； （2）若，求证：． 请考生在第22、23两题中任选一题作答．