中原名校2022-2023学年高三上学期质量考评二理科数学试题

中原名校上期质量考评二 高三数学（理）·全解全析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D 【解析】由题意，，，故，故选D． 2．【答案】A 【解析】因为，所以 ，故复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A． 3．【答案】C 【解析】因为，所以，两边平方可得，，所以，所以，故选C． 4．【答案】C 【解析】由题意，，解得，排除B；由 ，可得，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除A；当时，，排除D．故选C． 5．【答案】C 【解析】由，得，即，又，得，故数列为等比数列，其中公比，故，故选C． 6．【答案】A 【解析】若在上单调递增，则，解得，即求“”的一个充分不必要条件，观察选项可知，仅A正确，故选A． 7．【答案】B 【解析】由题意，函数关于对称，因为当时， ，所以在上单调递减，所以函数在上单调递减．当时，令，解得（或，舍去），故由，得，则，解得，故实数m的取值范围为，故选B． 8．【答案】D 【解析】由题意，作出该三棱锥的直观图如下图所示，设四棱锥的体积为，则，观察可知，所求三棱锥的体积为 ，故选D． 9．【答案】C 【解析】由题意，，令 ，得，则 ，故①；又为函数图象的一条对称轴，所以，解得②，故由①②可得，故选C． 10．【答案】B 【解析】设，，∵点为线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，∴， ∴，因为三点共线，则，解得，故，故选B． 11．【答案】C 【解析】由题意，，则在上恒成立，设，则，当时，，当时，，则，故，故选C． 12．【答案】B 【解析】由题意，，即①， ②，联立①②得，整理得：，即．又，所以，所以，，则 ， ∵，∴，∴的取值范围为，故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．【答案】 【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线过点时，有最大值，联立，解得，故的最大值为． 14．【答案】 【解析】因为，所以，解得；因为，所以，解得，则，，所以 ． 15．【答案】 【解析】设，正三棱柱的外接球的半径为，因为，所以，则，则，又正三棱柱的所有棱长之和为，故． 16．【答案】 【解析】由，得， 当时，，即；当时，，即． 又，，，， 所以，，，当时，，所以， 所以，，，，所以． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】（1）由题意，得， 故函数在和上单调递增，（2分） 由在上单调递增，得，解得，（3分） 故当命题为真时，实数m的取值范围为； 则当为真时，实数m的取值范围为．（4分） （2）若为真，则，， 即，即，（5分） 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故．（7分） 则当为假时，，（8分） 因为为真，为假，故一真一假， 若为真为假，则实数m的取值范围为；（9分） 若为假为真，则实数m的取值范围为． 综上所述，实数m的取值范围为．（10分） 18．【解析】（1）因为，所以， 在中，，，， 由余弦定理，得，（3分） 即， 整理，得，解得（或，舍去）．（6分） （2）在中，， 由余弦定理，得， 即，解得，（9分） 由正弦定理，得，故，（11分） 故．（12分） 19．【解析】（1）由题意，， ，（1分） 令，则，故，（3分） 故，．（4分） （1）因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即．（6分） （2）令，解得，令，解得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（8分） （在处写成闭区间也得分） 函数的极大值为，无极小值．（9分） （3）由（2）可知，在上的最小值为与两者中的最小值， 因为，，所以， 故函数在上的最小值为．（12分） 20．【解析】（1）将函数的图象的横坐标伸长为原来的4倍， 得到的图象，（1分） 再向右平移个单位后，得到的图象，（2分） 列表如下： 0 0 2 0 故函数在上的大致图象如下图所示： （6分） （2）令，（7分） 得，（9分） 令，得，（10分） 令，得，（11分） 故函数在上的单调递减区间为和．（12分） 21．【解析】（1）由题意，，所以，（1分） 即，所以是等差数列，公差为1，首项为3， 所以， 所以，（3分） 所以， 所以数列是首项为8，公比为2的等比数列，（4分） 所以．（6分） （2）由（1）可知，， 所以，（7分） 所以， ，（9分） 两式相减，可得 ，（10分） 故．（12分） 22．【解析】（1）当时，，要证，即证， 即证，令，则， 令，则， 当时，，当时，，（2分） 所以，即， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，．（4分） （2）由题意，，方程有两个不相等的解， 即方程有两个不相等的解，故，