专题集训14（word练习）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

专题集训(十四) [对应学生用书P132] A组　基础保分练 1．若抛物线y＝mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，则(　　) A．m＝　　　　　　 B．m＝ C．m＝2 D．m＝4 解析　抛物线的方程可化为x2＝y，结合抛物线的定义得2＋＝3，解得m＝，故选A. 答案　A 2．(2022·湖北十一校第一次联考)方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．－2＜m＜1 B．m＞1 C．m＜－2 D．－1＜m＜2 解析　因为方程－＝1表示双曲线，所以(2＋m)(1－m)＞0，即(m＋2)(m－1)＜0， 解得－2＜m＜1.故选A. 答案　A 3．(2022·贵阳市第一学期监测考试)已知双曲线的方程为－＝1，则双曲线的右顶点A到渐近线的距离为(　　) A．1 B． C. D．2 解析　由双曲线的方程－＝1可得，a＝2，b＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0. 因为A为双曲线的右顶点，所以A(2,0)， 所以点A(2,0)到双曲线的渐近线x±y＝0的距离d＝＝，故选C. 答案　C 4．(2022·山东重点中学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆上的两点P，Q关于原点对称，若|PF|＋|QF|＝6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析　由椭圆的定义及椭圆的对称性可得|PF|＋|QF|＝2a＝6，所以a＝3.由椭圆C的离心率为得＝＝，所以b2＝8，故椭圆C的方程为＋＝1，故选A. 答案　A 5．(2022·重庆名校联盟第一次联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F.点T在C上，且|FT|＝，若点M的坐标为(0,1)，且MF⊥MT，则C的方程为(　　) A．y2＝2x或y2＝8x B．y2＝x或y2＝8x C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x 解析　设T(x0，y0)，则＝(x0，y0－1)， 又F，所以＝. 因为MF⊥MT，所以·＝0， 可得x0－y0＋1＝0， 又y＝2px0， 所以y－4y0＋4＝0， 解得y0＝2， 故x0＝，T. 因为|FT|＝x0＋＝， 所以－＝， 即p2－5p＋4＝0， 解得p＝1或p＝4， 所以C的方程为y2＝2x或y2＝8x.故选A. 答案　A 6．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．如图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成的立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝20 米，上底直径CD＝20 米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为(　　) A．10米 B．20米 C．10 米 D．10 米 解析　取DC的中点E，以EG所在直线为y轴，EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．因为点G处的直径等于CD， 所以由双曲线的对称性可知，点O即双曲线的对称中心，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0, b>0)，由题意可知，C(10，20)，B(10，－60)，代入双曲线的标准方程得解得所以最细部分处的直径为2a＝20(米)． 答案　B 7．(2022·湖南省六校联考)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2，若|PF1|＋|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是(　　) A. B． C. D． 解析　如图，设直线PF1交C于另一点M，根据椭圆的对称性可知|QF2|＝|F1M|， 则|PF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|MF1|＝|PM|.因为PM过焦点F1，所以|PM|min＝≥b，所以≥，则0＜e＝＝≤. 答案　C 8．(多选)(2022·广州市高三阶段训练)已知曲线C：－＝1(mn≠0)，则下列命题中为真命题的是(　　) A．若m＋n＝0，则C是圆 B．若m>0，n<0，且m＋n≠0，则C是椭圆 C．若mn>0，则C是双曲线，且渐近线方程为y＝±x D．若0<m<1，n<－1，则C是椭圆，其离心率为 解析　对于A，当m＋n＝0，即m＝－n时，x2＋y2＝m，当m>0时，曲线C是圆，当m<0时，曲线C不存在，故A不正确；对于B，若m>0，n<0，且m＋n≠0.则m≠－n，所以曲线C是椭圆，故B正确；对于C，若mn>0，则m，n同号，当m>0，n>0时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，当m<0，n<0时，曲线C为焦点在y轴上的双曲线，它们的渐近线的统一求法为令－＝0，解得y＝±x，故C正确；对于D，若0<m<1，n<－1，则－n>1>m>0，可知曲线C是焦点在y轴上的椭圆，令a2＝－n，b2＝m，则