中原名校2022-2023学年高三上学期期末联考文科数学试题

中原名校上期期末联考 高三数学（文）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C 【解析】因为，，所以 ，故选C. 2．【答案】B 【解析】因为，所以，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选B. 3．【答案】A 【解析】设大正方形的边长为1，则大正方形的面积为1，阴影部分是3个等腰直角三角形和一个小正方形，阴影部分小正方形的边长为，阴影部分大等腰直角三角形的直角边为，最小的等腰直角三角形的直角边长为，第三个等腰直角三角形的直角边长为，所以阴影部分的面积为，所以此点取自阴影部分的概率为，故选A. 4．【答案】B 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线的方程为，把代入得，所以所求标准方程为，故选B. 5．【答案】A 【解析】因为，，，所以，故选A. 6．【答案】C 【解析】因为，所以，解得或，当时，直线与重合，所以“”是“”的充要条件，故选C. 7．【答案】D 【解析】， 因为，所以，当，即时单调递增，故选D. 8．【答案】D 【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，底面积为，高为2，所以体积为，故选D. 9．【答案】C 【解析】当时，，所以，因为是奇函数，所以，，，，所以在处的切线方程为，即，故选C. 10．【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点坐标为，则点在双曲线上，代入双曲线方程得，解得，所以双曲线的离心率为，故选D. 11．【答案】B 【解析】因为，所以圆的半径为3，圆的方程为，由图可知，直线在劣弧的下方，则劣弧上任意一点满足 ，所以，令，则，表示斜率为1的直线在轴上截距的相反数再加2，当直线与圆相切时取到最小值，所以，解得或（舍），故选B. 12．【答案】C 【解析】因为，可知在单调递增，在上单调递减，，当时，，令，要使得 有三个不同的实数解，则有两个不同的实数根和，且，或，若且时，无解，若且时，令，只需要解得，故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．【答案】 【解析】，解得. 14．【答案】1 【解析】因为，所以. 15．【答案】（2分） （3分） 【解析】因为，所以，所以，所以，，.因为 ，所以，，所以 ，则为等边三角形，，，在中，由余弦定理得，即，所以，由正弦定理得. 16．【答案】 【解析】取的中点，连接，因为为菱形，所以即为二面角的平面角，因为，所以和均为正三角形，取靠近的三等分点，取靠近的三等分点，过点作平面，过点作平面，交于点，则为三棱锥外接球的球心，连接，由对称性知，则，，因为，所以，所以外接球的半径 ，所以外接球的表面积为. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】 （1）， 解得. .................3分 该地区居民问卷调查分数的平均数的估计值为 （分）. .................6分 （2）， .................9分 因为， .................10分 故有99.9%的把握认为居民对开展学习国学活动的态度与年龄有关. ............12分 18．【解析】 （1）设的公差为，则， ， 解得， 所以. .................3分 因为的前项和为， 所以，， ， 因为是等比数列，所以，即， 解得， .................4分 所以，公比， .................5分 . .................6分 （2）由（1）知，， 所以， .................7分 ， 所以， .................8分 所以 .................9分 .................10分 所以. .................12分 19．【解析】 （1）因为，，所以四边形为平行四边形， 因为，所以四边形为矩形，， 在折起后，，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， .................2分 因为平面，所以， .................3分 因为，所以，， 因为点在线段上，且满足，点为的中点， 所以，， 所以，所以， 所以， .................5分 因为平面，平面，， 所以平面. .................6分 （2）取的中点，连接，MN，FN， 则，所以平面，为三棱锥的高， .................7分 ，， .................8分 又可求得，，， 所以，， 所以，， 所以， ................