专题集训8（word练习）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

专题集训(八) [对应学生用书P122] A组　基础保分练 1．设函数f(x)＝ax2－(x＋1)ln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为0. 求证：当0<x≤2时，f(x)＞x. 证明　f′(x)＝2ax－ln x－1－， 由题意，可得f′(1)＝2a－2＝0，所以a＝1. f(x)＝x2－(x＋1)ln x， 要证当0<x≤2时，f(x)＞x， 只需证当0<x≤2时，x－－ln x＞， 令g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋， 由g′(x)＝1－＝0，得x＝1， 易知g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， 故当0<x≤2时，g(x)min＝g(1)＝1. h′(x)＝，当0<x≤2时，h′(x)>0，所以h(x)在(0，2]上单调递增，故当0<x≤2时，h(x)max＝h(2)＝＜1，即h(x)max＜g(x)min，故当0<x≤2时，h(x)<g(x)，即当0<x≤2时，f(x)>x. 2．(2022·南通市第一次调研)已知函数f(x)＝＋ln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x1)＝f(x2)＝2(x1≠x2)，证明：a2<x1x2. 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝. ①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． ②当a>0时，由f′(x)>0，得x>a，由f′(x)<0，得0<x<a， 所以f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增， 综上，当a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增． (2)证明　由(1)知a>0，不妨设0<x1<a<x2. 先证x1x2>a2. 设F(x)＝f(x)－f(0＜x＜a)， 则F′(x)＝f′(x)＋f′＝－＜0， 所以F(x)在区间(0，a)上单调递减． 因为0<x1<a，所以F(x1)>f(a)－f＝0， 所以f<f(x1)＝f(x2). 又∈(a，＋∞)，x2∈(a，＋∞)， 所以结合(1)可得<x2，即x1x2>a2，得证． B组　提能增分练 3．(2022·江西五校高三联考)已知函数g(x)＝ax3－3x2＋6，其中a>0. (1)若a＝1，求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程； (2)若在区间[－1，1]上，g(x)>0恒成立，求a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，g(x)＝x3－3x2＋6， 所以g′(x)＝3x2－6x， 所以g(1)＝4，g′(1)＝－3. 故所求切线方程为y－4＝－3(x－1)， 即y＝－3x＋7. (2)解法一　因为g(x)＝ax3－3x2＋6，a>0， 所以g′(x)＝3ax2－6x，a>0. 令g′(x)<0，得0<x<，令g′(x)>0， 得x<0或x>. 所以g(x)的单调递减区间是，单调递增区间是(－∞，0)，. ①若≥1，即0<a≤2，则g(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减． 因为在区间[－1，1]上，g(x)>0恒成立， 所以解得－3＜a<3. 又0<a≤2，所以0<a≤2. ②若<1，即a>2，则g(x)在(－1，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为在区间[－1，1]上，g(x)>0恒成立， 所以解得<a＜3. 又a>2，所以2<a <3. 综上，a的取值范围是(0，3). 解法二　(分离参数法)　由g(x)>0在区间[－1，1]上恒成立，得ax3－3x2＋6>0在区间[－1，1]上恒成立，即ax3>3x2－6在区间[－1，1]上恒成立． 当x＝0时，a·0>－6恒成立，所以a>0； 当x>0时，分离参数，得a>，令h(x)＝，x∈[－1，1]，则h′(x)＝，x∈[－1，1]，所以h′(x)>0在[－1，1]上恒成立，所以h(x)在[－1，1]上单调递增，所以h(x)max＝h(1)＝－3，所以a>－3，又a>0，所以a>0； 当x<0时，分离参数，可得a<， 令f(x)＝，x∈[－1，1]，则f′(x)＝，x∈[－1，1]，所以f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，所以f(x)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝3，所以a<3，又a>0，所以0<a<3. 综上，a的取值范围是(0，3). 4．(2022·沈阳市教学质量监测)已知f(x)＝ex－1－x. (1)求证：对于任意x∈R，f(x)≥0恒成立； (2)若对于任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥a(x2－x－x ln x)恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)证明　由f(x)＝ex－1－x，得f′(x)＝ex－1－1， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，