下篇 方略1 解题有招——四大数学思想（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

方略一　解题有招——四大数学思想 [对应学生用书P155] 高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查，如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等． 数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中． 思想一　函数与方程思想 函数思想 方程思想 通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想 构建方程或方程组，通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想 函数思想与方程思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 技法1　借助函数关系解决问题 在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解． 　(2022·新高考全国卷Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A.　　　　　 B． C. D．[18,27] [解析]　记三棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，cos θ＝＝∈，则l＝6cos θ， m＝l·sin θ＝6sin θcos θ， h＝＝＝6cos2 θ，S底＝×2m×2m＝2m2， 故V＝S底·h＝×2m2h＝144(sin θcos2 θ)2， 令y＝sin θcos2 θ＝sin θ(1－sin2 θ)＝x(1－x2)＝－x3＋x，x＝sin θ∈， y′＝－3x2＋1，故x∈，y′>0，x∈，y′<0， 即Vmax＝144y＝144×2＝， Vmin＝144×2＝. [答案]　C [技法点拨]　求体积的最值时，此题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平． 1．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，M，N分别是BC，CD上的点(不含端点)，且MN∥BD，则·的取值范围是(　　) A．(－2,4)　　　　　 B．(－2,2) C．(1,2) D．(2,4) 解析　选A　因为∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，所以·＝·＝2×2cos 120°＝－2，·＝·＝2×2cos 0°＝4.设＝λ(0<λ<1)，则＝λ，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·(＋λ)＝·＋λ(·＋·)＋λ2·＝－2λ2＋8λ－2，因为0<λ<1，所以·∈(－2,4)，故选A. 答案　A 2．已知等差数列{an}满足3a4＝7a7，a1>0，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn取得最大值时n＝________. 解析　设等差数列{an}的公差为d，因为3a4＝7a7，所以3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以4a1＝－33d.因为a1>0，所以d<0，Sn＝na1＋d＝n＋d＝＝，所以n＝9时，Sn取得最大值． 答案　9 技法2　转换函数关系解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解． 　已知函数h(x)＝xln x与函数g(x)＝kx－1的图象在区间上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A. B． C．(1，e－1) D．(1，＋∞) [解析]　令h(x)＝g(x)，得xln x＋1＝kx，即ln x＋＝k.令函数f(x)＝ln x＋，若方程xln x－kx＋1＝0在区间上有两个不等实根，则函数f(x)＝ln x＋与y＝k在区间上有两个不相同的交点，f′(x)＝－，令－＝0可得x＝1，当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数，函数f(x)的极小值，也是最小值是f(1)＝1，而f＝－1＋e，f(e)