上篇 层级3 热点4 社会热点（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

热点4　社会热点 [对应学生用书P101] 类型1　设置现实情境，发挥育人作用 　(多选)(2022·山东威海考前模拟)(星形曲线)数学中有许多优美的曲线，星形曲线就是其中之一．在工业生产中，利用星形曲线的特性能设计出一种超轻超硬材料，展现了数学模型的广泛性和应用性．已知星形曲线E：x＋y＝1，设P(x，y)为E上任意一点，则下列说法正确的是(　　) A．曲线E与坐标轴有四个交点 B．|x|≤1，|y|≤1 C．曲线E有且只有两条对称轴 D．|x|＋|y|≤1 [解析]　 选项 分析过程 正误 A x＋y＝1→令x＝0，可得y＝±1→令y＝0，可得x＝±1→曲线E与坐标轴有四个交点 √ B x＋y＝1→x≤1，y≤1→|x|≤1，|y|≤1 √ C 将方程x＋y＝1中的x换为－x，y不变，则方程不变；将方程x＋y＝1中的y换为－y，x不变，则方程不变．可得曲线关于x轴、y轴对称． 将方程x＋y＝1中的x换为y，y换为x，则方程不变，可得曲线关于直线y＝x对称． 将方程x＋y＝1中的x换为－y，y换为－x，则方程不变，可得曲线关于直线y＝－x对称． 综上，曲线E至少有4条对称轴 × D 由上可知曲线E关于x轴、y轴对称． 易知曲线E关于原点对称． 当0≤x≤1,0≤y≤1时， x≥x，y≥y， 所以x＋y≤x＋y＝1， 所以|x|＋|y|≤1 √ [答案]　ABD 　(2022·重庆4月二诊)(∞型几何体)无穷符号∞在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利．某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图1所示的立体活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心球相交而成，球心距O1O2＝25，求该标志的体积． 附：如图2，—个半径为R的球被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高(记为H)，球缺的体积公式为V＝πH2. 解　 该立体活动标志的轴截面的示意图如图所示，记两圆的交点分别为A，B，连接AB，O1A，O2A，AB与O1O2交于点O，则152－O1O2＝202－O2O2，且OO1＋OO2＝25， 可得OO1＝9，OO2＝16，且OA＝12. 两球体的公共部分可看作由两个球缺组合而成， 小球中的球缺高为15－OO1＝6，体积V1＝36π×(15－2)， 大球中的球缺高为20－OO2＝4，体积V2＝16π×， 故该标志的体积V＝π(153＋203)－V1－V2＝14 400π. 类型2　设置问题情境，服务国计民生 　(2022·北京朝阳区第二次质量检测)为实现乡村全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表和图所示． 该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况 各年的平均每亩产量 400 kg 500 kg 频率 0.25 0.75 此品种中药材的国内市场批发价格情况 (注：各年的平均每亩纯收入＝各年的平均每亩产量×批发价格－各年的平均每亩种植成本) (1)以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率． (2)设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望． (3)已知该地区某农民有一块土地，共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45 000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地上种植此品种中药材？说明理由． [解]　(1)设事件A：该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入． 则P(A)＝0.75×0.6＝0.45. (2)由题意可知，X的所有可能取值为3 000，5 000，7 500. P(X＝3 000) ＝0.25×0.4＝0.1， P(X＝5 000)＝0.75×0.4＋0.25×0.6＝0.45， P(X＝7 500)＝0.75×0.6＝0.45. 所以X的分布列为 X 3 000 5 000 7 500 P 0.1 0.45 0.45 所以X的数学期望E(X)＝3 000×0.1＋5 000×0.45＋7 500×0.45＝5 925(元)． (3)选择种植此品种中药材，理由如下： 以第(2)问的期望作为决策依据，则在该地区种植10亩该品种中药材年纯收入为5 925×10＝59 250(元)，59 250>45 000，所以该农民下一年应该选择在这块土地上种植此品种中药材． 　江苏姜堰，因水而兴．近5年来，江苏省泰州市