上篇 层级3 热点1 数学文化（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

热点1　数学文化 [对应学生用书P95] “体现数学的文化价值”是高中数学课程的四项基本理念之一，高考试题中也以数学发展史上的重要发现为背景，命制了多道数学名题，彰显数学的悠久历史、数学家们的创新精神和数学的美学价值． 类型1　在先贤的智慧中了解数学文化 　(2022·新高考全国卷Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) 图1 图2 A．0.75　　　　　　 B．0.8 C．0.85 D．0.9 [解析]　如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1.又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝＝＝0.725，解得k3＝0.9，故选D. [答案]　D [名师点评]　 中国的数学历史极其悠久，无论是理论层面还是实践层面，中国古代数学如今仍有研究价值和现实意义．近几年高考数学试题把其中的精华引入到考试内容中，既打上中华传统文化的烙印，又有东方数学的特点，发挥了春风化雨，润物无声的作用．在弘扬中国传统文化的同时，注意吸收世界数学文化的精华，从而引导学生胸怀祖国，放眼世界． 　 (2022·深圳高级中学、广雅中学等11月联考)中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种名为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行且均为扇环(圆环被扇形截得的部分)形．现有一个如图所示的曲池，其高为3，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，AA1⊥底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且CD＝2，则该曲池的体积为(　　) A. B．6π C. D．5π 解析　设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r.因为弧AD长度为弧BC长度的3倍，所以R＝3r. 因为CD＝2，所以R－r＝2r＝2，解得r＝1，R＝3. 因为曲池的高为3， 所以该曲池的体积V＝(R2－r2)×3＝×(32－12)＝6π.故选B. 答案　B 类型2　在古今科学成就中体验数学文化 　 (2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　) A．20° B．40° C．50° D．90° [解析]　 如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°.故选B. [答案]　B [名师点评] 日晷是中国最古老的计时器之一，本题背景新颖，展现了我国古代劳动人民的智慧，在考查空间几何体结构特征的同时考查了线面位置关系、直线与平面所成的角，体现了直观想象和数学运算等核心素养． 　(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A. B． C. D． 解析　由条件得，△OAB为等边三角形，有OC＝，CD＝2－，所以s＝2＋＝2＋＝. 答案　B 类型3　在劳动实践中创造数学文化 　有一种制作正二十面体的方法：如图(1)，先制作三张一样的黄金矩形ABCD，然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE＝AD，再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF＝OE，将这三个矩形穿插两两垂直放置，如图(2)，连接所有顶点即可得到一个正二十面体，如图(3)．若黄金矩形的短边长为4，则按如上方法制作的正二十面体的表面积为________，其外接球的表面