上篇 层级2 专题5 第2讲 圆锥曲线的方程与性质（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

第二讲　圆锥曲线的方程与性质 [对应学生用书P69] 1．(2021·新高考全国卷Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13　　　　　　　　 B．12 C．9 D．6 解析　本题通过利用椭圆定义得到|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，借助基本不等式|MF1|·|MF2|≤2即可得到答案． 由题，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6， 所以|MF1|·|MF2|≤2＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)．故选C. 答案　C 2．(多选)(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF|＝|AM|，则(　　) A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM＋∠OBM＜180° 解析　对于A，由题意，得F.因为|AF|＝|AM|，且M(p,0)，所以xA＝＝p，将其代入抛物线方程y2＝2px，得yA＝p，所以A，所以直线AB的斜率kAB＝kAF＝＝2，故A正确； 对于B，由选项A的分析，知直线AB的方程为y＝2，代入y2＝2px，得12x2－13px＋3p2＝0，解得x＝p或x＝p，所以xB＝p，所以yB＝－p，所以|OB|＝＝p≠|OF|，故B不正确； 对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，得|AB|＝xA＋xB＋p＝p＋p＝p>2p，即|AB|>4|OF|，故C正确； 对于D，易知|OA|＝p，|AM|＝p，|OB|＝p，|BM|＝p，则cos∠OAM＝＝＝>0，cos∠OBM＝＝＝>0， 所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正确． 综上所述，选ACD. 答案　ACD 3．(2021·新高考全国卷Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a＞，b＞0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________． 解析　＝＝＝，故曲线C的渐近线方程为y＝±x. 答案　y＝±x 4．(2021·新高考全国卷Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 解析　先用坐标表示P，Q，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果． 不妨设P，∴Q，＝(6，－p)． ∵PQ⊥OP，∴×6－p2＝0.∵p>0，∴p＝3，C的准线方程为x＝－.故答案为x＝－. 答案　x＝－ 5．(2022·新高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________． 解析　 椭圆离心率为，不妨设C：＋＝1，且△AF1F2为正三角形，则直线DE斜率k＝.由等腰三角形性质可得|AE|＝|EF2|，|AD|＝|DF2|，由椭圆性质得△ADE的周长等价于|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a.另设直线DE方程为y＝(x＋c)，与椭圆方程联立得13x2＋8cx－32c2＝0. 由弦长公式|DE|＝·|x1－x2|＝·，得|DE|＝·＝c＝6，即c＝，4a＝8c＝13. 答案　13 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容．常以选择、填空以及解答题的第一问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等． [对应学生用书P70] 考点一　圆锥曲线的定义及标准方程 　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2　　　　　　　　 B．2 C．3 D．3 (2)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋y2＝1 [解析]　(1)易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)， 于是有|BF|＝2，故|AF|＝2，注意到抛物线通径2p＝4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥x轴，分析知|AB|＝＝2. (2)由题意，A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－1①.又a2＝b2＋c2，所以c＝1，而e＝，所以a＝3，故选B. [答案]　(1)B　(2)B [方法与警示]　 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方