上篇 层级2 专题4 第3讲 空间向量与立体几何（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

由VG­AOP＝VA­OPG，得h＝， 所以h＝，即点A到平面OPG的距离为. 第三讲　空间向量与立体几何 [对应学生用书P59] 1．(2022·全国甲卷) 在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 解　(1)证明　∵PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， ∴PD⊥BD，取AB中点E，连接DE，可知DE＝AB＝1， ∵CD∥AB，∴CD綊BE， ∴四边形BCDE为平行四边形， ∴DE＝CB＝1， ∵DE＝AB， ∴△ABD为直角三角形，AB为斜边， ∴BD⊥AD， ∵PD∩AD＝D， ∴BD⊥平面PAD， 又PA⊂平面PAD， ∴BD⊥PA. (2)由(1)知，PD，AD，BD两两垂直，BD＝＝， 建立空间直角坐标系如图所示，则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0,0，)， ∴＝(0,0，－)，＝(1,0，－)， ＝(－1，，0)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 不妨设y＝z＝1，则n＝(，1,1)， 设PD与平面PAB所成的角为θ，则 sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝， ∴PD与平面PAB所成角的正弦值为. 2．(2022·新高考全国卷Ⅰ) 如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A­BD­C的正弦值． 解　(1)设A到平面A1BC的距离为h， VA1­ABC＝S△ABC·A1A＝VABC­A1B1C1＝×4＝， VA­A1BC＝S△A1BC·h＝×2·h， 所以×2·h＝，所以h＝，所以A到平面A1BC的距离为. (2)取A1B的中点E，连接AE， 因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B， 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B， 所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC，AE＝， 则AA1＝AB＝2， 因为直三棱柱ABC­A1B1C， 所以A1A⊥BC， 因为AE∩A1A＝A，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB， 由VABC­A1B1C1＝AB·BC·A1A＝×2×BC×2＝4，所以BC＝2， 以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，A1(0,2,2)，E(0,1,1)，D(1,1,1)，平面BDC的法向量设为n1＝＝(0，－1,1)，平面BDA的法向量设为n2＝(x，y，z)， ＝(0,2,0)，＝(1,1,1)， 所以 所以y＝0， 设x＝1，则z＝－1，所以n2＝(1,0，－1)， 所以cos〈n1，n2〉＝＝－， 设二面角A­BD­C的平面角为α， 则sin α＝＝， 所以二面角A­BD­C的正弦值为. 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上． [对应学生用书P60] 考点一　向量法证明平行与垂直 　 如图所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证： (1)EF∥平面PAB； (2)平面PAD⊥平面PDC. [证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A­xyz如图所示，则A(0,0,0)， B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， 所以E，F， ＝，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)． (1)因为＝－，所以∥， 即EF∥AB. 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB， 所以EF∥平面PAB. (2)因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， ·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以⊥，⊥， 即AP⊥DC，AD⊥DC. 又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以DC⊥平面PAD. 因为DC⊂平面PDC， 所以平面PAD⊥平面PDC. [方法与警示]　 利用空间向量证明平行与垂直的步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． (3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题． 【警示】　利用空间向量证明平行、垂直关系时．对于法向量的平行、垂直一定交代清楚涉及向量所在的直线、平面是否满足