上篇 层级2 专题3 第4讲 第2课时 导数与函数的零点、方程的根（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

第2课时　导数与函数的零点、方程的根 [对应学生用书P46] 考点一　函数零点个数的确定 　(2022·洛阳市第一次统考)已知函数f(x)＝ln x－ax2(a∈R). (1)若f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值； (2)讨论函数f(x)在区间[1，e]上的零点个数． [解]　(1)由已知得f′(x)＝－ax＝(x>0). ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，没有极值，不符合题意． ②当a>0时，令f′(x)>0，得0<x<； 令f′(x)<0，得x>. ∴f(x)在上单调递增，在上单调递减． ∴f(x)有唯一的极值点， f＝ln －＝0. ∴a＝. (2)由f(x)＝0，得a＝. 令g(x)＝，x∈[1，e]，则函数f(x)在区间[1，e]上的零点个数等于直线y＝a与函数g(x)图象的交点个数． g′(x)＝， 令g′(x)＝0， 得x＝， 令g′(x)＞0，得1≤x＜；令g′(x)＜0，得＜x≤e. ∴g(x)在[1，]上单调递增，在(，e]上单调递减． 又g(1)＝0，g()＝，g(e)＝， ∴当a<0或a>时，函数f(x)在区间[1，e]上没有零点； 当0≤a<或a＝时，函数f(x)在区间[1，e]上有1个零点； 当≤a<时，函数f(x)在区间[1，e]上有2个零点． [规律方法]　 三步解决方程解(或曲线公共点)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性，极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解． 　(2022·湖北省七市(州)联合统考)已知函数f(x)＝ln x＋－2，证明：函数f(x)在(1，＋∞)内有且仅有一个零点． 证明　(1)f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，则x＝2， 令f′(x)>0，则x>2，令f′(x)<0，则0<x<2， 所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 因为f(1)＝0，f(2)＝ln 2－1<0，f(e2)＝2＋－2>0， 所以结合单调性，知f(x)在(1，＋∞)内有且仅有一个零点． 考点二　已知函数零点求参数范围(值) 　(2022·潍坊市高三上学期考试)已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中a>0，e为自然对数的底数． (1)求函数f(x)的最小值； (2)若函数f(x)在区间[0，1]上有两个零点，求a的取值范围． [解]　(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. 令f′(x)<0，得x<ln a；令f′(x)>0，得x>ln a. ∴f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． ∴f(x)min＝f(ln a)＝a－a ln a－1. (2)由(1)知，①当ln a≤0时，f(x)在区间[0，1]上单调递增，此时f(x)在区间[0，1]上不可能有两个零点； ②当ln a≥1时，f(x)在区间[0，1]上单调递减，此时f(x)在区间[0，1]上不可能有两个零点； ③当0<ln a<1，即1<a<e时，f(x)在区间[0，ln a]上单调递减，在区间(ln a，1]上单调递增，又f(0)＝0，∴f(ln a)<0， ∴当f(1)＝e－a－1≥0，即1<a≤e－1时，f(x)在区间[ln a，1]上有一个零点． 综上，当1<a≤e－1时，f(x)在区间[0，1]上有两个零点． [规律方法]　 转化与化归思想解决函数零点问题的策略 (1)直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． (2)分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图，函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题，只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 　已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x．若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等的解，求实数a的取值范围．(注：ln 2≈0.69) 解　方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等的解等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不等的解． 令φ(x)＝，x∈[，e]，则φ′(x)＝＝， 易知φ(x)在(，)上单调递增，在(，e)上单调递减， 则φ(x)max＝φ()＝， 而φ(e)＝＜＝＝φ()， 所以φ(x)min＝φ(e)， 作出φ(x)的大致图象如图所示． 由图可知φ(x)＝a有两个不等解时，需≤a<，即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不等解时实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $