上篇 层级2 专题3 第4讲 第1课时 导数、函数与不等式（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

第四讲　函数与导数中的热点问题 [对应学生用书P43] 1．(2022·新高考全国卷Ⅱ节选)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1 时，讨论f(x)的单调性； (2)当x＞0 时，f(x) ＜－1，求a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝xex－ex，f′(x)＝xex， 当x>0时，f′(x)＝xex>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，f′(x)＝xex<0，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减． (2)f′(x)＝(1＋ax)eax－ex(x∈(0，＋∞))， ①当a≥1时，f′(x)＝(1＋ax)eax－ex>eax－ex≥ex－ex＝0， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>－1，与题意矛盾． ②当a≤0时，f′(x)≤eax－ex≤1－ex<0. ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)<－1，满足题意． ③当0<a≤时，f′(x)≤e－ex＝e， 设G(x)＝1＋－e(x>0)，则G′(x)＝－e<0， ∴G(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴G(x)<0，∴f′(x)＝eG(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(x)<－1，满足题意． ④当<a<1时，f′(x)＝eax[1＋ax－e(1－a)x]，令H(x)＝1＋ax－e(1－a)x，则f′(x)＝eaxH(x)， H′(x)＝a＋(a－1)e(1－a)x，易知H′(x)为减函数，又H′(0)＝2a－1>0，x→＋∞时，H′(x)<0， ∴∃x0∈(0，＋∞)，使H′(x0)＝0，且当x∈(0，x0)时， H′(x)>0，H(x)在(0，x0)上单调递增，此时H(x)>0， ∴当x∈(0，x0)时，f′(x)＝eaxH(x)>0， f(x)在(0，x0)上单调递增，∴f(x)>－1，与题意矛盾． 综上，实数a的取值范围为. 2．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x. (1)当a＝0时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，f＝－－ln x，(x＞0)，则f′＝－＝， 当x∈时，f′＞0，f单调递增； 当x∈时，f′＜0，f单调递减； 所以fmax＝f＝－1. (2)f＝ax－－ln x，(x＞0)，则f′＝a＋－＝，(x＞0). 当a≤0时，ax－1＜0，所以当x∈时，f′＞0，f单调递增； 当x∈时，f′＜0，f单调递减； 所以fmax＝f＝a－1＜0，此时函数无零点，不合题意； 当0＜a＜1时，＞1，在，上，f′＞0，f单调递增； 在上，f′＜0，f单调递减； 又f＝a－1＜0，当x趋近正无穷大时，f趋近于正无穷大， 所以f仅在有唯一零点，符合题意； 当a＝1时，f′＝≥0，所以f单调递增，又f＝a－1＝0， 所以f有唯一零点，符合题意； 当a＞1时，＜1，在，上，f′＞0，f单调递增； 在上，f′＜0，f单调递减；此时f＝a－1＞0， 又f＝－an＋nln a，当n趋近正无穷大时，f趋近负无穷， 所以f在上有一个零点，在上无零点， 所以f有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 　导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点． 第1课时　导数、函数与不等式 [对应学生用书P44] 考点一　利用导数证明不等式 　(2022·沈阳市重点高中联考)已知函数f(x)＝xex－bx ln x－x2(b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2e－3.证明：当x>1时，f(x)>xex－x2＋1. [证明]　由f(x)＝xex－bx ln x－x2可得 f′(x)＝(x＋1)ex－b(ln x＋1)－x. 因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2e－3， 所以f′(1)＝2e－b－1＝2e－3， 解得b＝2， 当x>1时，f(x)>xex－x2＋1等价于x2－2x ln x－1>0，即x－2ln x－＞0. 令F(x)＝x－2ln x－，则F′(x)＝1－＋＝＞0在(1，＋∞)上恒成立， 所以函数F(x)在区间(1，＋∞)上单凋递增， 所以当x>1时，F(x)>F(1)＝1－2ln 1－＝0， 所以当x>1时，f(x)>xex－x2＋1. [规律方法]　用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)；②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，则f(x1)＜f(x2).对于减函数有类似结论． (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对∀x∈D，有f(x)≤M(