上篇 层级2 专题3 第3讲 导数及简单应用（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

第三讲　导数及简单应用 [对应学生用书P40] 1．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1　　　　　　　 B．－ C． D．1 解析　因为f′(x)＝，由题意可知f′(1)＝a－b＝0，f(1)＝a ln 1＋b＝b＝－2，所以a＝－2，因此f′(2)＝＝－，故选B. 答案　B 2．(多选)(2022·新高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 解析　因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)＝3x2－1>0得x>或x<－；由f′(x)＝3x2－1<0得－<x<.所以f(x)＝x3－x＋1在，上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点，故A正确． 因为f(x)的极小值f＝－＋1＝1－>0， f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误． 因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0，0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0，1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确． 假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－1＝2，解得x0＝±1.若x0＝1，则切点坐标为(1，1)，但点(1，1)不在直线y＝2x上，若x0＝－1，则切点坐标为(－1，1)，但点(－1，1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．故选AC. 答案　AC 3．(2022·新高考全国卷Ⅱ)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 解析　当x>0时，点(x1，ln x1)(x1>0)上的切线为y－ln x1＝(x－x1).若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x＝e，此时切线方程为y＝. 当x<0时，点(x2，ln (－x2))(x2<0)上的切线为y－ln (－x2)＝(x－x2).若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x＝－e，此时切线方程为y＝－. 答案　y＝　y＝－ 1．高考对本部分内容主要考查求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等；利用导数研究函数的单调性及求函数的极值和最值；利用函数的单调性、函数的极值与导数的关系求参数值(或取值范围). 2．多以选择题、填空题的形式考查导数的几何意义及计算，函数的单调性多出现解答题第一问，难度中等偏上． [对应学生用书P40] 考点一　导数的几何意义 　(1)(2022·长沙市新高考适应性考试)函数f(x)＝ex－1的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________． (2)(2022·湖南省六校联考)已知函数f(x)＝x＋.若曲线y＝f(x)存在两条过点(2，0)的切线，则a的取值范围是________． [解析]　(1)因为f′(x)＝ex－1，所以f′(0)＝， 又f(0)＝，所以函数f(x)＝ex－1的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y－＝(x－0)，即x－ey＋1＝0. (2)f(x)＝x＋，f′(x)＝1－，设切点坐标为，则切线方程为y－x0－＝(x－x0).由切线过点(2，0)，可得－x0－＝(2－x0)，整理得2x＋ax0－a＝0. 因为曲线y＝f(x)存在两条过点(2，0)的切线，所以方程有两个不等实根，即Δ＝a2＋8a >0，解得a>0或a<－8，所以a的取值范围是{a|a<－8或a>0}． [答案]　(1)x－ey＋1＝0　(2)(－∞，－8)∪(0，＋∞) [方法与警示]　 求曲线y＝f(x)的切线方程的两种常见类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程： 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程： 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． 【警示】　求曲线的切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标． 1．(2022·沈阳一模)已知曲线y＝x＋在点(1，1)处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则k的值为(　　) A．1　　　　　　　 B．－1 C． D．－ 解析　易知点(1，1)在曲线y＝x＋上．令f(x)＝x＋，则f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝1＋，即曲线y＝x＋在点(1，1)处的切线的斜率为1＋， 又该切线与直线x＋2y＝