上篇 层级2 专题3 第2讲 导数初等函数、函数与方程（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

第二讲　基本初等函数、函数与方程 [对应学生用书P37] 1．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a>0>b　　　　　 B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a 解析　由9m＝10，可得m＝log910∈(1，1.5).根据a，b的形式构造函数f(x)＝xm－x－1(x>1)，则f′(x)＝mxm－1－1，令f′(x0)＝0，解得x0＝m，由m＝log910∈(1，1.5)知x0∈(0，1).f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即a>b，又f(9)＝－10＝0，所以a>0>b，故选A. 答案　A 2．(2021·新高考全国卷Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a　　　　　 B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 解析　∵a＝log52＜log42＝＝c，b＝log83＞log93＝＝c， 故a＜c＜b，选C. 答案　C 3．(2021·新高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________． 解析　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)， 故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)， 因为f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x)， 所以x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，故a＝1. 答案　1 4．(2021·新高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________． 解析　由题设知，f(x)＝|2x－1|－2ln x定义域为(0，＋∞)， ∴当0<x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x，此时f(x)单调递减； 当<x≤1时，f(x)＝2x－1－2ln x， 有f′(x)＝2－≤0，此时f(x)单调递减； 当x>1时，f(x)＝2x－1－2ln x， 有f′(x)＝2－>0，此时f(x)单调递增． 又f(x)在各分段的界点处连续， 所以，当0<x≤1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增， 故f(x)≥f(1)＝1. 答案　1 1．高考对本部分内容多考查指数式与对数式的运算，利用函数的性质比较大小，函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上． 2．高考题型多以选择题、填空题呈现，难度中等偏上． [对应学生用书P38] 考点一　基本初等函数的图象及性质 　(1)(2022·湖北襄阳五中阶段性考试)已知函数y＝f(x)的定义域为(－1，1)，则函数F(x)＝f(|2x－1|)的定义域为(　　) A．(－∞，1)　　　　　 B．(－1，1) C．(0，＋∞) D．[0，1) (2)(多选)已知函数f(x)＝log2(x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值 C．当a＝0时，f(x)的值域为R D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a>－3} [解析]　(1)∵y＝f(x)的定义域为(－1，1)， ∴－1<|2x－1|<1，即－1<2x－1<1，0<2x<2，解得x<1，∴F(x)＝f(|2x－1|)的定义域为(－∞，1).故选A. (2)对于A项，当a＝0时，解x2－1>0，得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，A正确．对于B，C项，当a＝0时，f(x)＝log2(x2－1)，此时x2－1∈(0，＋∞)，所以f(x)＝log2(x2－1)的值域为R，B错误，C正确．对于D项，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则y＝x2＋ax－1在[2，＋∞)上单调递增，所以函数y＝x2＋ax－a－1的图象的对称轴x＝－≤2，22＋2a－a－1>0，解得a≥－4且a>－3.所以a>－3，D正确．故选ACD. [答案]　(1)A　(2)ACD [方法与警示]　 三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较 (1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较． (3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小． 【警示】　(1)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论； (2)解决对数问题时，首先要考虑定义域，然后再利用性质求解． 1．(2022·江西五校高三联考)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性、奇偶性均一致的是(　　) A．y＝sin x B．y＝x3 C．y＝()x D．y＝log2x 解析　由题意可知，函数y＝2x－2－x的定义域为R，且是R上的奇函数，并在R上单调递增，