上篇 层级2 专题3 导学热点5 破解函数极值点偏移问题（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

[对应学生用书P49] 已知函数f (x)的图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1). (无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0. 若≠x0，则极值点偏移，此时函数f (x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3). (左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>2x0. (左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2<2x0. 技法1　构造对称和(或差) 　(2022·湖南郴州质量检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋1.若设函数f(x)的两个零点为x1，x2，试证明：x1＋x2>2. [证明]　记h(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，0<x<1. 则h(x)＝ln (1＋x)－(1＋x)2＋1－[ln (1－x)－(1－x)2＋1]＝ln (1＋x)－ln (1－x)－2x， h′(x)＝－－2＝. 显然，当x∈(0，1)时，h′(x)>0， 所以函数h(x)在区间(0，1)上单调递增， 所以h(x)>0，即f(1＋x)－f(1－x)>0. 故f(1＋x)>f(1－x). 不妨设0<x1<1<x2<2，0<x2－1<1， 所以0<2－x2<1， 由已知得f(x1)＝f(x2)＝f(1＋(x2－1))>f(1－(x2－1))，即f(x1)>f(2－x2)， 又函数f(x)在(0，1)上单调递增， 所以x1>2－x2，即x1＋x2>2. [规律方法]　 1．对称变化主要用来解决与两个极值点之和或差相关的不等式的证明问题，解题要点如下： (1)定极值点：即利用导函数求出函数的极值点x0. (2)对称构造：即根据极值点x0构造对称函数F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)或F(x)＝f(x)－f(2x0－x). (3)比较大小：即利用导数讨论函数F(x)的单调性，判断其符号，进而得到f(x0＋x)与f(x0－x)或者f(x)与f(2x0－x)的大小关系． (4)转化所证：即根据函数f(x)的单调性，将f(x0＋x)与f(x0－x)或者f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为两个极值点之间的大小关系，进而得到所证或所求． 2．极值点偏移问题的四种基本题设形式 (1)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2＞2x0(x0为函数f(x)的极值点). (2)对于函数f(x)，存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点). (3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f′(x0)＞0. (4)对于函数f(x)，存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0. 技法2　消参减元 　(2022·湖南名校联考)已知函数f(x)＝x2－ax＋2ln x－3.若对任意的a∈[1，2]，总存在x1，x2，使得f(x1)＋f(x2)＝0，证明：x1＋x2≥4. [证明]　因为f(x1)＋f(x2)＝0， 所以x－ax1＋2ln x1－3＋x－ax2＋2ln x2－3＝0， 整理得x＋x－a(x1＋x2)＋2ln x1＋2ln x2－6＝0， 即(x1＋x2)2－a(x1＋x2)－6＝2x1x2－2ln (x1x2). 令g(x)＝2x－2ln x，x>0， 则g′(x)＝2－＝， 所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(1)＝2，即2x1x2－2ln (x1x2)≥2. 所以(x1＋x2)2－a(x1＋x2)－6≥2，即(x1＋x2)2－a(x1＋x2)－8≥0. 因为x1>0，x2＞0，所以x1＋x2>0， 令h(a)＝(x1＋x2)2－a(x1＋x2)－8，则h(a)＝－(x1＋x2)a＋[(x1＋x2)2－8]在[1，2]上单调递减， 所以h(2)＝(x1＋x2)2－2(x1＋x2)－8≥0， 即(x1＋x2－4)(x1＋x2＋2)≥0. 因为x1>0，x2>0，所以x1＋x2≥4. [规律方法]　消参减元，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消参或减元，从而简化目标函数，其基本解题步骤如下： (1)建立方程，即利用函数的导函数，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中使导函数变号的因式部分； (2)确定关系，即根据极值点所满足的方程，建立极值点与方程系数之间的关系； (3)构建函数，即根据消参、减元后的式子结构特征，构造相应的函数； (4)求