上篇 层级2 专题2 第2讲 数列求和与综合应用（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

第二讲　数列求和与综合应用 [对应学生用书P27] 1．(2021·新高考全国卷Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么k＝________ dm2. 解析　(1)按对折列举即可；(2)根据规律可得Sn，再根据错位相减法得结果． (1)对折4次可得到如下规格： dm×12 dm， dm×6 dm，5 dm×3 dm，10 dm× dm，20 dm× dm，共5种； (2)由题意可得S1＝2×120，S2＝3×60，S3＝4×30，S4＝5×15，…，Sn＝， 设S＝＋＋＋…＋， 则S＝＋＋…＋＋， 两式作差得S＝240＋120－ ＝240＋－ ＝360－－＝360－， 因此，S＝720－＝720－. 故答案为：5；720－. 答案　(1)5　(2)720－ 2．(2022·新高考全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋<2. 解　(1)S1＝a1＝1，所以＝1， 所以是首项为1，公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)·＝， 所以Sn＝an. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 所以(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝(n≥2)； 累积法可得an＝(n≥2)，又a1＝1满足该式， 所以{an}的通项公式为an＝. (2)证明　因为an＝，所以＝＝2，所以＋＋…＋ ＝2 ＝2<2. 1．数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法；数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等． 2．主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等． [对应学生用书P27] 考点一　数列求和(多维探究) 技法1　分组转化求和 　(2022·惠州市第二次调研)已知数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn，a1，4a3－1，2S4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)因为a1，4a3－1，2S4成等差数列，且等比数列{an}的公比q＝2， 所以2(4a3 －1)＝a1＋2S4， 即8a1·22－2＝a1＋2×， 整理得32a1－2＝a1＋30a1，解得a1＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)bn＝an＋log2an＝2n＋n， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn ＝(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋[2n－1＋(n－1)]＋(2n＋n) ＝(21＋22＋23＋…＋2n－1＋2n)＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n] ＝＋ ＝2n＋1－2＋. [方法与警示]　利用分组法求和的3个关键点 会“列 方程” 会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量 会“用 公式” 会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式 会“分组 求和” 观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列 【警示】　此类题的易错点有两处：一是忽视数列通项的下标，导致所求的结果出错；二是用等差数列或等比数列的前n项和公式时忽视项数，导致求和出错． 技法2　裂项相消求和 　(2022·绵阳市第二次诊断性考试)已知数列{an}为公差大于0的等差数列，a2·a3＝15，且a1，a4，a25成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sm＝，求m的值． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0). 由题意得 解得a1＝1，d＝2， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. ∴数列{an}的通项公式是an＝2n－1. (2)由(1)知，bn＝＝＝， ∴Sn＝ ＝＝. ∵Sm＝，∴Sm＝＝，解得m＝20. ∴m的值为20. [方法与警示]　裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消