上篇 层级2 专题2 第1讲 等差数列、等比数列（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

专题二　数列 第一讲　等差数列、等比数列 [对应学生用书P24] 1．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7　　　　　　　 B．8 C．9 D．10 解析　根据题目条件可得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，从而求出S6－S4＝1，进一步求出答案． ∵Sn为等比数列{an}的前n项和， ∴S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， ∴S2＝4，S4－S2＝6－4＝2， ∴S6－S4＝1， ∴S6＝1＋S4＝1＋6＝7. 故选A. 答案　A 2．(2021·新高考全国卷Ⅱ)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项的和，若a3＝S5，a2·a4＝S4. (1)求{an}的通项公式； (2)求使得Sn>an的n的最小值． 解　(1)设{an}的公差为d， ∴ 由①得a1＋2d＝0，即a1＝－2d，代入②得， (－d)·d＝－8d＋6d，即d2－2d＝0. ∵d≠0，∴d＝2，∴a1＝－4， ∴an＝－4＋2(n－1)＝2n－6. (2)Sn＝－4n＋·2＝n2－5n， 由Sn>an，得n2－5n>2n－6， ∴n2－7n＋6>0，(n－1)(n－6)>0， ∴n>6，故n的最小值为7. 1．高考主要考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式的理解、基本量的运算以及等差、等比数列的性质． 2．试题主要以选择题、填空题考查基本数列的问题，解答题中的第(1)问常考查数列的通项，难度为中等偏下． [对应学生用书P24] 考点一　等差、等比数列的基本运算 　(1)(2022·太原市第一学期统考)等比数列{an}中，a3＝8，a2＋a4＝20，则{an}的通项公式为(　　) A．ab＝2n B．an＝ C．an＝2n或 D．an＝2n＋1或 (2)(多选)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a2＝18，a5＝12，则下列选项正确的是(　　) A．d＝－2 B．a1＝22 C．a3＋a4＝30 D．当且仅当n＝11时，Sn取得最大值 [解析]　(1)解法一　设等比数列{an}的公比为q.由题意知解得或所以an＝2n或an＝.故选C. 解法二　由{an}为等比数列可得a2a4＝a＝64，又a2＋a4＝20，所以a2，a4是方程x2－20x＋64＝0的两个根，解得或所以数列{an}的通项公式为an＝2n或an＝.故选C. (2)对于A，易知3d＝a5－a2＝12－18＝－6，即d＝－2，选项A正确；对于B，a1＝a2－d＝18－(－2)＝20，所以选项B错误；对于C，a3＋a4＝a2＋a5＝18＋12＝30，所以选项C正确；对于D，因为an＝a1＋(n－1)d＝20＋(n－1)(－2)＝－2n＋22，a10＝2>0，a11＝0，a12＝－2<0，所以当n＝10或n＝11时，Sn最大，所以选项D错误．故选AC. [答案]　(1)C　(2)AC [方法与警示]　等差(比)数列运算策略 (1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素． (2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意使用消元法及整体计算，以减少计算量． 【警示】　等比数列前n项和公式中，若不确定q是否等于1，应分q＝1和q≠1两种情况讨论． 1．(2022·昆明市“三诊一模”摸底诊断)已知等比数列{an}满足a1＝，a1a3＝4(a2－1)，则{an}的公比等于(　　) A．　　　　　　　 B． C．2 D．4 解析　解法一　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝，a1a3＝4(a2－1)， 得×q2＝4，即q2－8q＋16＝0，解得q＝4.故选D. 解法二　因为数列{an}是等比数列，所以a1a3＝a，又a1a3＝4(a2－1)， 所以a＝4(a2－1)，即a－4a2＋4＝0， 解得a2＝2.设等比数列{an}的公比为q， 则a2＝a1q，得q＝4.故选D. 答案　D 2．(2022·沈阳市教学质量监测)已知等差数列{an}的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A．n(n－2) B．n(n－1) C．n(n＋1) D．n(n＋2) 解析　因为数列{an}是公差为2的等差数列，且a2，a3，a5成等比数列，所以a＝a2a5，即(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋8)，解得a1＝0，所以an＝2n－2.则数列{an}的前n项和Sn＝＝＝n(n－1)，故选B. 答案　B 考点二　等差、等比数列的性质 　(1)(2022·长春市质量监测)已知数列{an}是等比数列，{bn}是等差数列，若a3a15＝8a9，b9＝a9，则b7＋b11＝(　　) A．4