上篇 层级2 专题1 第2讲 三角变换与解三角形（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

第二讲　三角变换与解三角形 [对应学生用书P18] 1．(2022·新高考全国卷Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1　　　　　　 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 解析　由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C. 答案　C 2．(2022·新高考全国卷Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. 解　(1)∵边长为a的正三角形的面积为a2， ∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝， 又a2－b2＋c2＝2accos B， 所以accos B＝1， 由sin B＝得cos B＝，∴ac＝＝， 故S△ABC＝acsin B＝××＝. (2)由正弦定理得：＝·＝＝＝， 故b＝sin B＝. 3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　方案一：选条件①. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝ sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由①ac＝，结合a＝b，b＝c，解得a＝，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 方案二：选条件②. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝. 由②c sin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2. 方案三：选条件③. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由③c＝b，与b＝c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 1．三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用倍角公式、两角和与差公式进行恒等变换， “角”的变换是三角恒等变换的核心． 2．正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，解答题常处于第一题位置，注重基础知识、基本能力的考查． 3．三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度． 考点一　三角恒等变换及求值 　(1)(2022·贵阳市第一学期监测考试 )若tan＝－，则cos 2α等于(　　) A.　　　　　　　 B． C. D．－3 (2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　) A. B． C. D． [解析]　(1)解法一　由tan＝＝＝－，解得tan α＝， 所以sin α＝±，所以cos 2α＝1－2sin2α＝.故选A. 解法二　令β＝α－，则α＝＋β，tan β＝－，所以cos 2α＝cos＝－sin 2β＝－＝－＝.故选A. (2)由α，β为锐角，则－＜α－β＜， 由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝， 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin (α－β) ＝×－×＝. 所以β＝. [答案]　(1)A　(2)C [方法与警示]　三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 【警示】　求角问题要注意角的范围，要根据已知条件用已知的角表示待求的角，特别要将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 1．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，黄金分割数的近似值为0.618，这一数值也可表示为a＝2sin 18°，若a2＋b＝4，则＝(　　) A. B．2 C. D．4